Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B M C D E H
Câu c: \(BM\) cắt \(AC\) tại \(E\). Như vậy thì tam giác \(EMA\) vuông tại \(M\).
\(CA=CM\) nên \(\widehat{EAM}=\widehat{CMA}\).
Mà \(\widehat{EAM}+\widehat{AEB}=90^o=\widehat{CMA}+\widehat{EMC}\) nên \(\widehat{AEM}=\widehat{EMC}\).
Tức là \(CE=CM=CA\) hay \(C\) là trung điểm \(AM\)
Đến đây bạn để ý \(MH\) song song với \(AM\) và dùng định lí Thales là CM được.
Gọi N là giao MH với BC ( N thuộc MH )
Tương tựTrần Quốc Đạt thì C là trung điểm AE
Vì MN // CE nên theo Ta-let
\(\frac{MN}{CE}=\frac{BN}{BC}\)
Vì NH // CA nên theo Talet
\(\frac{BN}{BC}=\frac{NH}{CA}\)
\(\Rightarrow\frac{MN}{CE}=\frac{NH}{CA}\)
Mà CE = CA (trung điểm)
\(\Rightarrow MN=NH\)=> N là trung điểm MH
Nên BC đi qua trung điểm N của MH
P/S : BÀi này ko liên quan tới A,N,D thẳng hàng nhé !
a: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
ACDB là hình thang vuông
=>\(S_{ACDB}=\frac12\left(AC+DB\right)\cdot AB=\frac12\cdot\left(CM+MD\right)\cdot AB=\frac12\cdot CD\cdot AB\le\frac12\cdot\frac{\left(CD+AB\right)^2}{4}=\frac18\left(CD+AB\right)^2\)
Dấu '=' xảy ra khi CD=AB
=>ABDC là hình chữ nhật
=>\(\hat{ACM}=\hat{BDM}=90^0\)
Xét tứ giác CMOA có
\(\hat{MCA}=\hat{CMO}=\hat{CAO}=90^0\)
nên CMOA là hình chữ nhật
=>CM=OA
CM+DM=CD
AO+OB=AB
mà CM=AO và CD=AB
nên DM=OB
mà CM=OA và OA=OB
nên MC=MD
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
Xét ΔMCA vuông tại C và ΔMDB vuông tại D có
MC=MD
CA=DB
Do đó: ΔMCA=ΔMDB
=>MA=MB
=>ΔMAB vuông cân tại M
=>M là điểm chính giữa của cung AB
b: Ta có: MA⊥MB
=>MA⊥ MF tại M
=>ΔAMF vuông tại M
Ta có; \(\hat{CAM}+\hat{CFM}=90^0\) (ΔAMF vuông tại M)
\(\hat{CMA}+\hat{CMF}=\hat{AMF}=90^0\)
mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)
nên \(\hat{CFM}=\hat{CMF}\)
=>CF=CM
mà CM=CA
nên CF=CA(1)
Ta có: MH⊥AB
FA⊥BA
Do đó: MH//AF
Xét ΔBAC có HK//AC
nên \(\frac{HK}{AC}=\frac{BK}{BC}\) (2)
Xét ΔBFC có MK//FC
nên \(\frac{MK}{FC}=\frac{BK}{BC}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH
=>K là trung điểm của MH
Xét ΔCDB có MK//DB
nên \(\frac{CK}{KB}=\frac{CM}{MD}\)
=>\(\frac{CK}{KB}=\frac{CA}{DB}\)
Xét ΔKCA và ΔKBD có
\(\frac{KC}{KB}=\frac{CA}{DB}\)
\(\hat{KCA}=\hat{KBD}\) (hai góc so le trong, AC//BD)
Do đó: ΔKCA~ΔKBD
=>\(\hat{CKA}=\hat{BKD}\)
mà \(\hat{CKA}+\hat{AKB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{BKA}+\hat{BKD}=180^0\)
=>A,K,D thẳng hàng
=>BC,AD,MH đồng quy tại K
M A C x B D y H K O I
a) Tam giác AMC vuông tại M có MH là đường cao
\(\Rightarrow MH=\sqrt{AH.BH}\)( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
\(\Rightarrow MH=\sqrt{15}\left(cm\right)\)
b) Vì AC song song với BD nên ta có : \(\frac{AC}{BD}=\frac{AI}{ID}=\frac{CM}{MD}\)( vì \(AC=CM;BD=MD\))
\(\Rightarrow MI//AC\)mà \(MH//AC\) ( cùng vuông góc với AB )
Suy ra \(M,I,H\)thẳng hàng
c ) Đặt \(AB=a,AM=c,BM=b\)
Ta có:
\(AK=\frac{a+c-b}{2};BK=\frac{a+b-c}{2}\)
\(\Rightarrow AK.BK=\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}=\frac{1}{2}.\left[\frac{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2-\left(b-c\right)^2}{2}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2-\left(b^2+c^2\right)+2bc}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{2bc}{2}=\frac{1}{2}.bc=\frac{1}{2}AM.MB=S_{AMB}\)
Vậy \(S_{AMB}=AK.KB\)
Chúc bạn học tốt !!!
Lời giải:
a.
$AC, BD$ cùng vuông góc với $AB$ (do là tiếp tuyến)
$MH\perp AB$ (gt)
$\Rightarrow AC\parallel MH\parallel BD$. Áp dụng định lý Talet:
$\frac{MK}{BD}=\frac{MC}{CD}$
$\Rightarrow MK=\frac{MC.BD}{CD}(1)$
$\frac{HK}{AC}=\frac{BK}{BC}=\frac{MD}{DC}$
$\Rightarrow HK=\frac{AC.MD}{DC}(2)$
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì $AC=MC; BD=MD(3)$
Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow HK=MK$ nên $K$ là trung điểm $MH$
b. Gọi $K'$ là giao của $AD$ với $MH$
Tương tự như câu a, áp dụng định lý Ta let:
$\frac{MK'}{CA}=\frac{DM}{DC}$
$\Rightarrow MK'=\frac{AC.DM}{DC}$
$\frac{HK'}{DB}=\frac{AK'}{AD}=\frac{CM}{CD}$
$\Rightarrow HK'=\frac{BD.CM}{CD}$
$\Rightarrow HK'=MK'$ nên $K'$ là trung điểm $MH$
$\Rightarrow K\equiv K'$ nên $BC, AD, MH$ đồng quy.
c. Không có dữ liệu điểm $E$.
Hình vẽ:
Hình vẽ: