c) Vì  F C H = F D H = 90 o  nên tứ giác CHDF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính FH

=> IC = ID. Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI

=> OI là phân giác của góc COD

d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD đều => COD = 60^o

Có  C A D = 1 2 C O D = 30 o = > C F D = 90 o − C A D = 60 o  

Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có

CID = 2CFD = 120^o => OIC = OID =  C I D 2 = 60 o

Xét góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CD của (I), có

CID = 2CFD = 120^o => OIC = OID  = C I D 2 = 60 o

Mặt khác COI = DOI =  C O D 2 = 30 o = > O I D + D O I = 90 o = > Δ O I D  vuông tại D

Suy ra O I = O D sin 60 o = 2 R 3  

Vậy I luôn thuộc đường tròn  O ; 2 R 3  

Câu a dễ nha: tứ giác BCDO có DOB+DCB=90+90=180(mà 2 góc ở vị trí đối nhau )

nên BCDO nội tiếp

câu b) tam giác ADO và tam giác ABC có:

góc BAC chung 

AOD=ACB=90

câu c: CB là dây cung mà OE là đường thẳng đi qua bán kính nên OE vuông góc với BC

nên OE// DC hay AD//OE mà DE//AO nên OEDA là hình bình hành

câu d thì mk chưa nghĩ ra hihi thông cảm nha

a, (O): góc BAC=90 độ (góc nt chắn nửa đường tròn).

(I): góc AEH=90(góc nt chắn nửa đường tròn). góc ADH=90(góc nt chắn nửa đường tròn) => tg AEHD là hcn(có 3 góc vuông)

b) (I): góc ADE=góc AHE( nt cùng chắn cung AE)

ta lại có:góc AHE=góc ABH( cùng phụ với góc BAH.) => ADE=ABH

=> tg BEDC nội tiếp (góc trong tại 1 đỉnh = góc ngoài tại đỉnh đối diện)

c, tg AEHD là hcn; AH cắt AD tại I => IA=IH=IE=ID

tam giác ADH: DI là trung tuyến

tam giác: AMH: MI là trung tuyến => D,M,I thẳng hàng. mà E,M,I thẳng hàng=> D,M,E thẳng hàng.

Nhớ L I K E nha

         VE HINH

â) Xét tứ giác KCID ,co:

 gocI = (cungAB+cungCD):2   = (180+60):2 = 120 độ 

  gocK=(cungAB-cungCD):2   =(180-60):2=60 độ 

gócI+gocK=120do+60do=180 do 

Vay :  tứ giác KCID nội tiếp (tổng số đo 2 góc đối diện=180 độ )

       :góc AKB = 60 độ 

b)Ta có:AB//CD

=>cungAC=cungBD=(180-60):2=60 do (2 cung nằm giữa 2 dây song song thì = nhau ) 

=>AC=BD(2 dây chan 2 cung = nhau thi = nhau )    (1)

=>tứ giác ACDB là hình thang cân 

***Xét : 3giac AKDva  3giac BKC ,co:

gocD=gocC=90do (vi gocC va gocD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

gocCAD=gocDBC(2goc noi tiep cung chan cungCD)

AD=BC(2 đường chéo của hình thang cân thì = nhau )(cmt)

Do do:3giacAKD =3giacBKC (g-c-g)

=>KD=KC (2 canh tương ứng)     (2)

Ta lại có :KA=KC+AC(C nam giua A va K)  

                                                                      }(3) 

              :KB=KD+BD(D nam giua B va K)

Tu (1) ,(2) va (3) suy ra KA=KB  (4)

Tu (2) va (4) suy ra KA.KC=KB.KD .

mình không vẽ hình nha

a) vì AD là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)\(\Rightarrow\)D là điểm chính giữa BC

\(\Rightarrow OD\perp BC\)

Mà \(DE\perp OD\)

\(\Rightarrow BC//DE\)

b) Ta có : \(\widehat{DAC}=\widehat{DCI}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CD}\)

\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{KCI}\)

suy ra tứ giác ACIK nội tiếp 

c) OD cắt BC tại H

Dễ thấy H là trung điểm BC nên HC = \(\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R\)

Xét \(\Delta OHC\)vuông tại H có :

\(HC=OC.\sin\widehat{HOC}\Rightarrow\sin\widehat{HOC}=\frac{HC}{OC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{HOC}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOC}=120^o\)

\(\Rightarrow\widebat{BC}=120^o\)

P/s : câu cuối là tính số đo cung nhỏ BC mà sao có cái theo R. mình ko hiểu. thôi thì bạn cứ xem đi nha. 

a) Tứ giác BEFI có: BFF = 90^o (gt)

BEF = BEA = 90^o

=> Tứ giác BEFI là nội tiếp đường tròn đường kính BF

b)  O I F A B C D E

Vì \(AB\perp CD\)nên AC = AD

=> ACF = AEC

Xét tam giác ACF và tam giác AEC có gốc chung A và ACF = AEC

=> Tam giác ACF song song với tam giác AEC => \(\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=> AE . AF = AC²

c) Theo câu b) ta có: ACF = AEC = > AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác CEF (1)

Mặt khác, ta có: ACB = 90^o (góc nội tiếp chứa đường tròn)

\(\Rightarrow AC\perp CB\)(2) 

Từ (1) và (2) => CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB cố định E thay đổi trên cung nhỏ BC.