a: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

b: ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB tại M

=>AM⊥BC tại M

Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường cao

nên \(MA^2=MB\cdot MC\)

c: Xét ΔMAB vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MA^2=AH\cdot AB\)

=>\(AH\cdot AB=MB\cdot MC\)

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

ACDB là hình thang vuông

=>\(S_{ACDB}=\frac12\left(AC+DB\right)\cdot AB=\frac12\cdot\left(CM+MD\right)\cdot AB=\frac12\cdot CD\cdot AB\le\frac12\cdot\frac{\left(CD+AB\right)^2}{4}=\frac18\left(CD+AB\right)^2\)

Dấu '=' xảy ra khi CD=AB

=>ABDC là hình chữ nhật

=>\(\hat{ACM}=\hat{BDM}=90^0\)

Xét tứ giác CMOA có

\(\hat{MCA}=\hat{CMO}=\hat{CAO}=90^0\)

nên CMOA là hình chữ nhật

=>CM=OA

CM+DM=CD

AO+OB=AB

mà CM=AO và CD=AB

nên DM=OB

mà CM=OA và OA=OB

nên MC=MD

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét ΔMCA vuông tại C và ΔMDB vuông tại D có

MC=MD

CA=DB

Do đó: ΔMCA=ΔMDB

=>MA=MB

=>ΔMAB vuông cân tại M

=>M là điểm chính giữa của cung AB

b: Ta có: MA⊥MB

=>MA⊥ MF tại M

=>ΔAMF vuông tại M

Ta có; \(\hat{CAM}+\hat{CFM}=90^0\) (ΔAMF vuông tại M)

\(\hat{CMA}+\hat{CMF}=\hat{AMF}=90^0\)

mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)

nên \(\hat{CFM}=\hat{CMF}\)

=>CF=CM

mà CM=CA

nên CF=CA(1)

Ta có: MH⊥AB

FA⊥BA

Do đó: MH//AF

Xét ΔBAC có HK//AC
nên \(\frac{HK}{AC}=\frac{BK}{BC}\) (2)

Xét ΔBFC có MK//FC

nên \(\frac{MK}{FC}=\frac{BK}{BC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH

=>K là trung điểm của MH

Xét ΔCDB có MK//DB

nên \(\frac{CK}{KB}=\frac{CM}{MD}\)

=>\(\frac{CK}{KB}=\frac{CA}{DB}\)

Xét ΔKCA và ΔKBD có

\(\frac{KC}{KB}=\frac{CA}{DB}\)

\(\hat{KCA}=\hat{KBD}\) (hai góc so le trong, AC//BD)

Do đó: ΔKCA~ΔKBD

=>\(\hat{CKA}=\hat{BKD}\)

mà \(\hat{CKA}+\hat{AKB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BKA}+\hat{BKD}=180^0\)

=>A,K,D thẳng hàng

=>BC,AD,MH đồng quy tại K

1: Vì A,E,M,B cùng nằm trên (O)

nên AEMB nội tiếp

góc AMB=1/2*180=90 độ

=>AM vuông góc IB

ΔIAB vuông tại A có AM vuông góc IB

nên IA^2=IM*IB

a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>BE⊥FA tại E

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BF tại M

Xét tứ giác FEKM có \(\hat{FEK}+\hat{FMK}=90^0+90^0=180^0\)

nên FEKM là tứ giác nội tiếp

=>F,E,K,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔIAB vuông tại A có AM là đường cao

nên \(IM\cdot IB=IA^2\)

Lời giải:
a.

$AC, BD$ cùng vuông góc với $AB$ (do là tiếp tuyến)

$MH\perp AB$ (gt)

$\Rightarrow AC\parallel MH\parallel BD$. Áp dụng định lý Talet:

$\frac{MK}{BD}=\frac{MC}{CD}$

$\Rightarrow MK=\frac{MC.BD}{CD}(1)$

$\frac{HK}{AC}=\frac{BK}{BC}=\frac{MD}{DC}$

$\Rightarrow HK=\frac{AC.MD}{DC}(2)$

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì $AC=MC; BD=MD(3)$

Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow HK=MK$ nên $K$ là trung điểm $MH$

b. Gọi $K'$ là giao của $AD$ với $MH$

Tương tự như câu a, áp dụng định lý Ta let:

$\frac{MK'}{CA}=\frac{DM}{DC}$

$\Rightarrow MK'=\frac{AC.DM}{DC}$
$\frac{HK'}{DB}=\frac{AK'}{AD}=\frac{CM}{CD}$

$\Rightarrow HK'=\frac{BD.CM}{CD}$

$\Rightarrow HK'=MK'$ nên $K'$ là trung điểm $MH$

$\Rightarrow K\equiv K'$ nên $BC, AD, MH$ đồng quy.

c. Không có dữ liệu điểm $E$. 

Hình vẽ:

a: Xét (O) có

DC,DA là tiếp tuyến

=>DC=DA và OD là phân giác của góc AOC(1)

Xét (O) có

EC,EB là tiếp tuyến

=>EC=EB và OE là phân giác của góc BOC(2)

Từ (1), (2) suy ra:

góc DOE=1/2(góc COA+góc COB)

=1/2*180=90 độ

b: DC+CE=DE

DC=DA

EB=EC

Do đó: DA+EB=DE

c: Xét ΔDOE vuông tại O có OC là đường cao

nên CD*CE=CO^2

=>CD*CE=R^2 không đổi

d: Sửa đề; Đường kính DE

Gọi K là trung điểm của DE

ΔDOE vuông tại O

=>O nằm trên đường tròn đường kính DE

=>O nằm trên (K)

Xét hình thang ADEB có

K,O lần lượt là trung điểm của DE,AB

=>KO là đường trung bình

=>KO//AD//EB

=>KO vuông góc AB

Xét (K) có

KO là bán kính

AB vuông góc KO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến của (K)