Sửa đề: AB=BC=CD=DE=EA=m

Xét ΔBAE có BA=AE và \(\hat{BAE}=90^0\)

nên ΔBAE vuông cân tại A

=>\(BE^2=AB^2+AE^2=m^2+m^2=2m^2\)

=>\(BE=m\sqrt2\)

ΔABE vuông cân tại A

=>\(\hat{ABE}=\hat{AEB}=45^0\)

ΔBCD vuông tại C

=>\(CB^2+CD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=m^2+m^2=2m^2\)

=>\(BD=m\sqrt2\)

ΔBCD vuông tại C có CB=CD

nên ΔCBD vuông cân tại C

=>\(\hat{CBD}=\hat{CDB}=45^0\)

\(S_{BAE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot m \cdot m = \frac{m^2}{2}\)

\(S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot m \cdot m = \frac{m^2}{2}\)

Kẻ BH⊥DE tại H

Xét ΔBDE có BD=BE

nên ΔBDE cân tại B

ΔBDE cân tại B

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của DE

=>\(HD=HE=\frac{DE}{2}=\frac{m}{2}\)

ΔBHE vuông tại H

=>\(BH^2+HE^2=BE^2\)

=>\(BH^2=\left(m\sqrt2\right)^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2=2m^2-\frac{m^2}{4}=\frac74m^2\)

=>\(BH=\frac{m\sqrt7}{2}\)

\(S_{BDE}=\frac12\cdot BH\cdot DE=\frac12\cdot\frac{m\sqrt7}{2}\cdot m=\frac{m^2\sqrt7}{4}\)

\(S_{ABCDE} = S_{BAE} + S_{BCD} + S_{BDE}\)

=>\(S_{ABCDE} = \frac{m^2}{2} + \frac{m^2}{2} + \frac{m^2\sqrt{7}}{4} = m^2 + \frac{m^2\sqrt{7}}{4} = \left(1 + \frac{\sqrt{7}}{4}\right)m^2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{4} m^2\)

a, Xét △ ABC vuông tại A có: 

BC² = AC² + AB² (định lý Pytago)

=> BC² = 6² + 8² = 100

=> BC = 10 cm

Vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD+BD}{AC+AB}=\frac{BC}{6+8}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\)(áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó: \(\frac{CD}{AC}=\frac{5}{7}\) \(\Rightarrow\frac{CD}{6}=\frac{5}{7}\) \(\Rightarrow CD=\frac{6.5}{7}=\frac{30}{7}\)(cm)

\(\frac{BD}{AB}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow\frac{BD}{8}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow BD=\frac{8.5}{7}=\frac{40}{7}\)(cm)

b, Xét △AHB vuông tại H và △AEH vuông tại E

Có: \(\widehat{HAB}\)là góc chung

=> △AHB ᔕ △AEH (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AH}\)

=> AH . AH = AE . AB

=> AH² = AE . AB

c, Xét △AHC vuông tại H và △AFH vuông tại F

Có: \(\widehat{HAC}\)là góc chung

=> △AHC ᔕ △AFH (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AF}=\frac{AC}{AH}\)

=> AH² = AF . AC

mà AH² = AE . AB (cmt)

=> AE . AB = AF . AC

a. Ta có: 

\(\Delta MNP\)vuông tại \(N\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{N}=90^0\)

\(HC\perp MN\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=90^0\)

\(HD\perp NP\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{D}=90^0\)

Xét tứ giác HDNC, ta có:

\(\widehat{N}=\widehat{C}=\widehat{D}\left(=90^0\right)\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow HDNC\)là hình chữ nhật (dhnb)

b, xét ΔMHN và ΔMNP có : ^P chung

^PNM = ^NHM = 90

=> ΔMHN ~ ΔMNP (g-g)

=> NH/MN = NP/MP 

=> NH.MP = MN.NP