Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài toán:
\(S = n^{2} + \left(\right. n + 2 \left.\right)^{2} + \left(\right. n + 4 \left.\right)^{2} + \hdots + \left(\right. n + 100 \left.\right)^{2} , n \in \mathbb{N}^{*}\)
Bước 1: Xác định số hạng
Các số hạng có dạng:
\(\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} , k = 0 , 1 , 2 , \ldots , 50\)
(vì từ \(0\) đến \(100\) cách nhau 2 thì có \(\frac{100}{2} = 50\) bước, tức 51 số hạng).
Bước 2: Viết tổng
\(S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2}\)
Khai triển:
\(\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} = n^{2} + 4 n k + 4 k^{2}\)
Nên:
\(S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n^{2} + 4 n k + 4 k^{2} \left.\right)\)
Bước 3: Tách tổng
\(S = \sum_{k = 0}^{50} n^{2} + \sum_{k = 0}^{50} 4 n k + \sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2}\)
- \(\sum_{k = 0}^{50} n^{2} = 51 n^{2}\)
- \(\sum_{k = 0}^{50} 4 n k = 4 n \cdot \frac{50 \cdot 51}{2} = 4 n \cdot 1275 = 5100 n\)
- \(\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6}\)
Bước 4: Tính \(\sum k^{2}\)
\(\sum_{k = 0}^{50} k^{2} = \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 42925\)
Vậy:
\(\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot 42925 = 171700\)
Bước 5: Kết quả cuối
\(S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700\)
👉 Vậy tổng cần tìm là:
\(\boxed{S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700}\)
Bài 1:
a){x-[25-(92-16.5)30.243]-14}=1
=>{x-[25-1.243]-14}=1
=>x-(-13799)-14=1
=>x-(-13813)=1
=>x=1+(-13813)
=>x=-13812
b) (x+1)+(x+2)+....+(x+100)=7450
=>100x+(1+2+...+100)=7450
=>100x+5050=7450
=>x=(7450-5050):100
=>x=24
Bài 2:
S=3+6+...+2016
S=(2016-3):3+1=672 ( số số hạng)
S=(2016+3)x672:2=678384
Bài 3 dài lắm mỏi tay lắm rùi
4 / tổng sau có chia hết cho 9
vì 2+4+8+16+32+64
ta nhóm : ( 2+16 )+ ( 4+32) + 63+1+8
= 18+36+63+9
vì 18 chia hết cho 9
36 chia hết cho 9
36 chia hết cho 9
9 chia hết cho 9
vậy tổng chia hết cho 9
a) \(A=1+2+2^2+...+2^{2016}\)
\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3+...+2^{2017}\)
\(\Rightarrow2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2017}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{2016}\right)\)
\(\Rightarrow A=2^{2017}-1\)
Vậy \(A=2^{2017}-1\)
b) \(B=1.2.3+2.3.4+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow4B=1.2.3.4+2.3.4\left(5-1\right)+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\)
\(\Rightarrow4B=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow4B=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
\(\Rightarrow B=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\)
Vậy...
Đặt A = biểu thức cần tính. Ta có:
(n+2)2=(n+2)(n+3-1)=(n+2)(n+3)-(n+2)
(n+4)2=(n+4)(n+5-1)=(n+4)(n+5)-(n+4)
....
(n+100)2=(n+100)(n+101-1)=(n+100)(n+101)-(n+100)
A=n2+(n+2)(n+3)-(n+2)+(n+4)(n+5)-(n+4)+...(n+100)(n+101)-(n+100)
=> A=n2+[(n+2)(n+3)+(n+4)(n+5)+...+(n+100)(n+101)]-(50n+2+4+...+100)
=> A=n2-(50n+2550)+[(n+2)(n+3)+(n+4)(n+5)+...+(n+100)(n+101)]
=> \(A=n^2-50\left(n+51\right)+\frac{\left(n+100\right)\left(n+101\right)\left(n+102\right)}{3}\)