a: ΔMDN vuông tại D

=>\(MD^2+DN^2=MN^2\)

=>\(MN^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>MN=10(cm)

Xét ΔDNM vuông tại D có \(\sin DMN=\frac{DN}{MN}=\frac{6}{10}=\frac35\)

nên \(\hat{DMN}\) ≃36 độ 52p

b: Xét ΔMDN vuông tại D có DA là đường cao

nên \(MA\cdot MN=MD^2\left(1\right)\)

Xét ΔMDP vuông tại D có DB là đường cao

nên \(MB\cdot MP=MD^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MA\cdot MN=MB\cdot MP\)

c: Xét ΔMIN vuông tại I và ΔMKP vuông tại K có

\(\hat{IMN}\) chung

Do đó: ΔMIN~ΔMKP

=>\(\frac{MI}{MK}=\frac{MN}{MP}\)

=>\(\frac{MI}{MN}=\frac{MK}{MP}\)

Xét ΔMIK và ΔMNP có

\(\frac{MI}{MN}=\frac{MK}{MP}\)

góc IMK chung

Do đó: ΔMIK~ΔMNP

=>\(\hat{MIK}=\hat{MNP}\left(3\right)\)

ta có: \(MA\cdot MN=MB\cdot MP\)

=>\(\frac{MA}{MP}=\frac{MB}{MN}\)

Xét ΔMAB và ΔMPN có

\(\frac{MA}{MP}=\frac{MB}{MN}\)

góc AMB chung

Do đó: ΔMAB~ΔMPN

=>\(\hat{MBA}=\hat{MNP}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\hat{MBA}=\hat{MIK}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên BA//KI

a: \(NP=\sqrt{MN^2+MP^2}=10\left(cm\right)\)

b: Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên MH*NP=MN*MP

=>MH*10=6*8=48

=>MH=4,8cm

Xét ΔMNP có MD là phân giác

nên \(MD=\dfrac{2\cdot6\cdot8}{6+8}\cdot cos45=\dfrac{24}{7}\sqrt{2}\left(cm\right)\)

c: MN*sinP+MP*sinN

=MN*MN/NP+MP*MP/NP

=(MN^2+MP^2)/NP

=NP^2/NP

=NP

BAN TU VE HINH NHA 

a, trong tam giác MNK có \(\sin N=\frac{4}{5}\Rightarrow GOCN\approx53\)

ap dung dl pitago vao tam giac vuong MNK co \(NK^2+MK^2=NM^2\Rightarrow NK^2=5^2-4^2=3^2\Rightarrow NK=3\)

B, ap dung he thuc luong vao tam giac vuong MNK co \(MK^2=MC\cdot MN\)

                                               tam giac vuong MKP co\(MK^2=MD\cdot MP\)

 tu day suy ra  MC*MN=MD*MP

C, ta co \(NP=NK+KP\)

ma \(NK=MK\cdot cotN\) \(KP=MK\cdot cotP\)

suy ra \(NP=MK\cdot\left(cotN+cotP\right)\)

D,  ta co  trong tam giac vuong MDK \(MD=MK\cdot cosM=4\cdot cos30=2\sqrt{3}\)

ma trong tam giac vuong MKP c o\(MK^2=MD\cdot MP\Rightarrow MP=\frac{4^2}{2\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

 lai co \(MD+DP=MP\Rightarrow DP=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

 A  áp dụng hệ thức lượng trong tam giác....
+  MI=NI*IP
  MI=5*7
MI=35
BC=NI+IP
BC=5+7=12
+   MN=NP*NI
MN=  12*5=60
 

a: góc MIN=góc MHN=90 độ

=>MNHI nội tiếp

b: MNHI nội tiếp

=>góc NMH=góc NIH

a: Xét ΔONM vuông tại N có sin NMO\(=\frac{ON}{OM}=\frac12\)

nên \(\hat{NMO}=30^0\)

Xét (O) có

MN,MP là các tiếp tuyến

Do đó: MN=MP và MO là phân giác của góc NMP

MO là phân giác của góc NMP

=>\(\hat{NMP}=2\cdot\hat{NMO}=60^0\)

Xét ΔMNP có MN=MP và \(\hat{NMP}=60^0\)

nên ΔMNP đều

b: Ta có: ON⊥OI

ON⊥ NM

Do đó: OI//MN

=>OI//MK

Ta có: OK⊥OP

OP⊥PM

Do đó: OK//PM

=>OK//MI

Xét tứ giác OKMI có

OK//MI

OI//MK

Do đó: OKMI là hình bình hành

Hình bình hành OKMI có MO là phân giác của góc KMI

nên OKMI là hình thoi

c: OKMI là hình thoi

=>\(\hat{KOI}=\hat{KMI}=60^0\)

Xét ΔOKI có OK=OI và \(\hat{KOI}=60^0\)

nên ΔOKI đều

Gọi H là giao điểm của OM và KI

OKMI là hình thoi

=>OM⊥KI tại trung điểm của mỗi đường

=>H là trung điểm chung của OM và KI và OM⊥KI tại H

Xét tứ giác ONMP có \(\hat{ONM}+\hat{OPM}+\hat{NOP}+\hat{NMP}=360^0\)

=>\(\hat{NOP}=360^0-90^0-90^0-60^0=120^0\)

Ta có: \(\hat{POK}+\hat{NOK}=\hat{NOP}\) (tia OK nằm giữa hai tia ON và OP)

=>\(\hat{NOK}=120^0-90^0=30^0\)

OKMI là hình thoi

=>OM là phân giác của góc KOI

=>\(\hat{KOM}=\frac12\cdot\hat{KOI}=30^0\)

Xét ΔONK vuông tại N và ΔOHK vuông tại H có

OK chung

\(\hat{NOK}=\hat{HOK}\left(=30^0\right)\)

Do đó: ΔONK=ΔOHK

=>ON=OH

=>OH=R

=>H nằm trên (O)

Xét (O) có

OH là bán kính

KI⊥OH tại H

Do đó: KI là tiếp tuyến tại H của (O)