Chứng minh với mọi số nguyên m,n ta có:

a) \(mn\left(m^2-n^2\right)⋮3\)

b)\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)

c)\(n^2\left(n^2-12\right)⋮12\)

d)\(mn\left(m^4-n^4\right)⋮30\)

e) \(n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\)

g) \(n^4-4n^3-4n^2+16n⋮384\)( n chẵn và n >4 )

h)\(n^3+3n^2-n-3⋮48\)

k)\(n^{12}-n^8-n^4+1⋮512\)

l)\(n^8-n^6-n^4+n^2⋮1152\)

m) \(n^3-4n⋮48\)( n chẵn )

n) \(n^2-3n+5\)không chia hết cho 121

i ) \(n^6-n^4-n^2+1⋮128\)( n lẻ ) 

tìm số tự nhiên m thỏa mãn đồng thời cả 2 ptrình sau:

a, \(4\left(n+1\right)+3n-6< 19\)

b, \(\left(n-3\right)^2-\left(n+4\right)\left(n-4\right)\le43\)

Với giá trị nào của m thì biểu thức:

a,\(\dfrac{m-2}{4}+\dfrac{3m+1}{3}\)giá trị âm

b, \(\dfrac{m-4}{6m+9}\)có giá trị dương

c,\(\dfrac{2m-3}{2m+3}+\dfrac{2m+3}{2m-3}\) có giá trị âm

d, \(\dfrac{-m+1}{m+8}+\dfrac{m-1}{m+3}\) có giá trị dương

e,\(\dfrac{\left(m+1\right)\left(m-5\right)}{2}\)

1. Chứng minh : B = \(\left(1-\frac{2}{6}\right).\left(1-\frac{2}{12}\right).\left(1-\frac{2}{20}\right)...\left(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}\)

2.  cho M = \(\frac{1}{1.\left(2n-1\right)}+\frac{1}{3.\left(2n-3\right)}+\frac{1}{5.\left(2n-5\right)}+...+\frac{1}{\left(2n-3\right).3}+\frac{1}{\left(2n-1\right).1}\)

N = \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}\)

Rút gọn \(\frac{M}{N}\)

Bài 1 :

Tìm tất cả cac số nguyên n để \(2n^2+n-7\) chia hết cho \(n-2\)

Bài 2 : Tìm các hằng số a và b sao cho đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)

a) \(f\left(x\right)=\left(x^4+ax^2+b\right)\) ; \(g\left(x\right)=\left(x^2-x+1\right)\)

b) \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+5x-50\) ; \(g\left(x\right)=x^2+3x+3\)

1) Tìm đa thức \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\) sao cho thoả mãn điều kiện sau:

\(\left|P\left(x\right)\right|\le10\); \(-1\le x\le1\); \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\) đạt GTLN

2) Tìm đa thức \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn

\(\left|P\left(x\right)\right|\le1\) ; \(-1\le x\le1\); \(\dfrac{3}{8}a^2+2b^2\) đạt GTLN