Đề bài có vẻ thiếu hoặc nhầm điều kiện. Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với \(3\) và \(a+b\) chia hết cho \(3\), thì mệnh đề cần chứng minh chưa đúng trong mọi trường hợp.

Ví dụ \(a=1,\ b=2\) thỏa mãn điều kiện, nhưng:

\(x^a+x^b+1=x+x^2+1=x^2+x+1\).

Trường hợp này chia hết, nhưng cần kiểm tra các điều kiện còn lại của đề để có lời giải tổng quát chính xác.

Cho \(f(x)\) là đa thức có hệ số nguyên, \(m,n\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh:

Chiều thuận: Giả sử \(f(m+n)\) chia hết cho \(mn\).

Vì \(m+n\equiv m\pmod n\) nên:

\(f(m+n)\equiv f(m)\pmod n\).

Mà \(f(m+n)\) chia hết cho \(n\), suy ra \(f(m)\) chia hết cho \(n\).

Tương tự, vì \(m+n\equiv n\pmod m\) nên \(f(n)\) chia hết cho \(m\).

Chiều đảo: Giả sử \(f(m)\) chia hết cho \(n\) và \(f(n)\) chia hết cho \(m\).

Ta có:

\(m+n\equiv m\pmod n\), suy ra \(f(m+n)\equiv f(m)\equiv0\pmod n\).

Tương tự:

\(m+n\equiv n\pmod m\), suy ra \(f(m+n)\equiv f(n)\equiv0\pmod m\).

Vậy \(f(m+n)\) chia hết cho cả \(m\) và \(n\).

Vì \(m,n\) nguyên tố cùng nhau nên \(f(m+n)\) chia hết cho \(mn\).

Vậy điều phải chứng minh.

Dễ chứng minh m,n đều là số lẻ (sử dụng phản chứng vs n,m đều chẵn, 1 trong 2 số chẵn). Vậy ta có hđt mở rộng:

\(3^m+5^m+3^n+5^n=\left(3+5\right)\left(3^{m-1}-3^{m-2}.5+...\right)+\left(3+5\right)\left(3^{n-1}-3^{n-2}.5+...\right)\)

\(=8A+8B\)

=> \(3^n+5^m=8A+8B-3^m-5^n\)

=> \(3^n+5^m\)chia hết cho 8. d0pcm

troi lanh em khong cha loi duoc