a: Xét tứ giác MNPC có

B là trung điểm chung của MP và NC

=>MNPC là hình bình hành

Hình bình hành MNPC có MP⊥NC

nênMNPClà hình thoi

b: Ta có: MNPC là hình thoi

=>MN//PC và MN=PC

Ta có: M là trung điểm của AB

=>BM=MA=BA/2

M đối xứng P qua B

=>B là trung điêm của MP

=>\(BM=BP=\frac{MP}{2}\)

=>MP/2=BA/2

=>MP=BA

=>AM=MB=BP

Ta có; MP=BA

BA=CD

Do đó: MP=CD

Xét tứ giác MPCD có

MP//CD
MP=CD

Do đó: MPCD là hình bình hành

=>MD//CP và MD=CP

MD//CP

DN//CP

mà MD,DN có điểm chung là D

nên M,D,N thẳng hàng

MD=CP

MN=CP

Do đó: MD=MN

=>M là trung điểm của DN

chưa học bye bye hề hề

a) Có: NB=BC(gt);MB=BP(gt); \(NC\perp MP\)

\(\Rightarrow MNPC\) là hình thoi.

b)Có: \(\Delta_vADM=\Delta_vBCM\left(2cgv\right)\)

\(\Rightarrow DM=MC\)

\(\Rightarrow MC\) là đường trung tuyến \(\Delta_VDCN\)\(\Rightarrow DM=MN\Rightarrow N\)đx với D qua M.

a) Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

Vì $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $DM$.

Suy ra:$E$ là trung điểm của $DM$ và $DE\perp AB$.

Tương tự, $N$ đối xứng với $D$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $DN$.

Suy ra: $F$ là trung điểm của $DN$ và $DF\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DE\parallel AC,\quad DF\parallel AB$.

Lại có: $AE\subset AB,\quad AF\subset AC$.

Suy ra: $AE\parallel DF,\quad AF\parallel DE$.

Vậy $AEDF$ là hình bình hành.

Mặt khác: $\widehat{EAF}=90^\circ$.

Do đó: $\boxed{AEDF \text{ là hình chữ nhật}}$.

b) Chứng minh tứ giác $ADBM$ là hình thoi.

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ trong tam giác vuông $ABC$ nên: $DA=DB=DC$.

Lại có $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$ nên: $AD=AM,\quad BD=BM$.

Suy ra: $AD=DB=BM=MA$.

Vậy: $ADBM$ là hình thoi.

c) Chứng minh $M$ đối xứng với $N$ qua $A$.

Do $M$ là ảnh của $D$ qua $AB$ nên: $AM=AD$.

Do $N$ là ảnh của $D$ qua $AC$ nên: $AN=AD$.

Suy ra: $AM=AN$.

Mặt khác, vì $AB\perp AC$ nên hai phép đối xứng qua $AB$ và $AC$ biến $D$ thành $M$ và $N$ đối xứng nhau qua điểm $A$.

Hay: $A$ là trung điểm của $MN$.

Vậy: $M$ và $N$ đối xứng nhau qua $A$.

d) Điều kiện để $AEDF$ là hình vuông.

Vì $AEDF$ là hình chữ nhật nên để là hình vuông cần: $AE=AF$.

Mà: $AE=\dfrac{DM}{2},\quad AF=\dfrac{DN}{2}$.

Do đó: $DM=DN$.

Vì $M,N$ lần lượt là ảnh của $D$ qua $AB,AC$ nên:

$DM=2\,d(D,AB),\quad DN=2\,d(D,AC)$.

Suy ra: $d(D,AB)=d(D,AC)$.

Tức là $D$ nằm trên phân giác góc $A$.

Vì $\widehat{A}=90^\circ$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi: $AB=AC$.

Hay tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Vậy: Nếu AB=AC thì AEDF là hình vuông.

a: Xét ΔMAD và ΔMBC có

MA=MB

\(\hat{MAD}=\hat{MBC}\) (ABCD là hình thang cân)

AD=BC

Do đó: ΔMAD=ΔMBC

=>MD=MC

=>ΔMCD cân tại M

b: ΔMCD cân tại M

mà MP là đường trung tuyến

nên MP⊥CD

Xét hình thang ABCD có

Q,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>QN là đường trung bình của hình thang ABCD
=>QN//AB//CD và \(QN=\frac{AB+CD}{2}\)

QN//CD

MP⊥CD

Do đó: MP⊥QN

c: Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và \(MQ=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NP là đường trung bình của ΔCBD

=>NP//BD và \(NP=\frac{BD}{2}\)

MQ//BD

NP//BD

Do đó: MQ//NP

\(MQ=\frac{BD}{2}\)

\(NP=\frac{BD}{2}\)

Do đó: MQ=NP

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó; MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MP⊥NQ

nên MNPQ là hình thoi

d: Xét tứ giác AHDP có

Q là trung điểm chung của AD và HP

=>AHDP là hình bình hành

=>AH//DP và AH=DP

Xét tứ giác BKCP có

N là trung điểm chung của BC và KP

=>BKCP là hình bình hành

=>BK//CP và BK=CP

BK//CP

=>BK//CD

AH//DP

=>AH//CD

AH//CD

AB//CD
mà AH,AB có điểm chung là A

nên H,A,B thẳng hàng(1)

BK//CD

BA//CD
mà BK,BA có điểm chung là B

nên B,K,A thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra H,A,B,K thẳng hàng

Ta có: AH=DP

BK=CP

mà DP=CP

nên AH=BK

AH+AM=HM

BK+BM=MK

mà AH=BK và AM=BM

nên HM=MK

=>M là trung điểm của HK