Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Theo hệ quả của định lý Thales ta có:
\(\dfrac{DN}{AB}=\dfrac{AF}{FD};\dfrac{CM}{AB}=\dfrac{CE}{EB}\Rightarrow\dfrac{DN}{AB}.\dfrac{CM}{AB}=\dfrac{AF}{FD}.\dfrac{CE}{EB}=1\Rightarrow DN.CM=a^2\).
b) Do \(CM.DN=a^2=AD.BC\Rightarrow\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{AD}{DN}\).
Mà \(\widehat{MCB}=\widehat{ADN}=90^o\Rightarrow\Delta NDA\sim\Delta BCM\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AND}=\widehat{MBC}\Rightarrow\widehat{AND}+\widehat{MCB}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=90^o\Rightarrow\widehat{MKN}=90^o\).
c) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(DN+CM\ge2\sqrt{DN.CM}=2a\).
Do đó \(MN=DN+DC+CM\ge2a+a=3a\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi DN = CM \(\Leftrightarrow DN=CM=a\)
\(\Leftrightarrow\) E, F lần lượt là trung điểm của BC, DA.
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Uchiha Itachi - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Lời giải:
a) $AF=CE, AD=BC\Rightarrow DF=BE$
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$
$\Rightarrow AB\parallel DN, CM$. Áp dụng định lý Talet:
\(\frac{AB}{DN}=\frac{AF}{DF}=\frac{CE}{BE}\)
$\frac{AB}{CM}=\frac{BE}{CE}$
Nhân theo vế 2 đẳng thức trên suy ra:
$\frac{AB^2}{DN.CM}=1\Rightarrow DN.CM=AB^2$ không đổi.
b) Do $ABCD$ là hình vuông nên:
$DN.CM=AB^2=AD.BC$
$\Rightarrow \frac{DN}{AD}=\frac{BC}{CM}$
$\Rightarrow \triangle DAN\sim \triangle CMB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AND}=\widehat{MBC}=90^0-\widehat{BMC}$
hay $\widehat{KNM}=90^0-\widehat{KMN}$
$\Rightarrow \triangle KMN$ vuông tại $K$
$\Rightarrow \widehat{MKN}=90^0$
c)
$MN=DN+CM+DC=DN+CM+AB\geq 2\sqrt{DN.CM}+AB$ theo BĐT AM-GM$
hay $MN\geq 2\sqrt{AB^2}+AB=3AB$
Vậy $MN_{\min}=3AB$. Giá trị này đạt được khi $DN=CM$
$\Leftrightarrow \frac{DN}{AB}=\frac{CM}{AB}$
$\Leftrightarrow \frac{DF}{FA}=\frac{EC}{BE}$
$\Leftrightarrow \frac{BE}{EC}=\frac{EC}{BE}$
$\Leftrightarrow BE=EC$ hay $E$ là trung điểm của $BC$. Điều này kéo theo $F$ là trung điểm của $AD$.
F thuộc AB mà AB song song CD thì tại sao BF lại cắt CD được ?????
Cho hình vuông ABCD cạnh a, E thuộc BC, F thuộc AD sao Cho CE=AF. Các đường thẳng AE, BF cắt CD tại M và N
a, CMR: CM·DN=a2
b, K là giao của NA và MB. CMR: ^MKN=90
c, Các điểm E và F có vị trí ntn thì MN có độ dài ngắn nhất
a: Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
b: AE+EB=AB
CF+FD=CD
mà AE=CF và AB=CD
nên EB=FD
Xét ΔEBC vuông tại B và ΔFDA vuông tại D có
EB=FD
BC=DA
Do đó: ΔEBC=ΔFDA
=>\(\hat{BEC}=\hat{DFA}\)
Xét ΔEBN và ΔFDM có
\(\hat{EBN}=\hat{FDM}\)
EB=FD
\(\hat{BEN}=\hat{DFM}\)
Do đó: ΔEBN=ΔFDM
=>BN=DM
=>BN+NM=DM+MN
=>BM=DN
c: Ta có: \(\hat{AEI}=\hat{ABD}\) (hai góc đồng vị, EI//BD)
\(\hat{CFK}=\hat{CDB}\) (hai góc đồng vị, FK//BD)
mà \(\hat{ABD}=\hat{CDB}\) (hai góc so le trong, AB//CD)
nên \(\hat{AEI}=\hat{CFK}\)
Xét ΔAEI vuông tại A và ΔCFK vuông tại C có
AE=CF
\(\hat{AEI}=\hat{CFK}\)
Do đó: ΔAEI=ΔCFK
=>AI=CK
Xét tứ giác AICK có
AI//CK
AI=CK
Do đó: AICK là hình bình hành
=>AC cắt IK tại trung điểm của mỗi đường(1)
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)
AECF là hình bình hành
=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra AC,IK,BD,EF đồng quy tại trung điểm O của BD
d: ABCD là hình chữ nhật
=>AC=BD
=>\(OA=OC=OB=OD=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}\)
Xét ΔOAD có OA=OD và \(\hat{AOD}=60^0\)
nên ΔOAD đều
=>OA=OD=AD=1cm