-viết pt DC 

- gọi điểm D theo DC 

- theo t/c hình thang ta có : AC=BD => điểm D

A(-1;-3); B(1;1); C(3;-1); D(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1+1;1+3\right)=\left(2;4\right)\)

\(\overrightarrow{DC}=\left(3-x;-1-y\right)\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\frac{2}{3-x}=\frac{4}{-1-y}\)

=>4(3-x)=2(-1-y)

=>12-4x=-2-2y

=>4x-12=2y+2

=>4x-2y=14

=>2x-y=7

=>y=2x-7

\(AC=\sqrt{\left(3+1\right)^2+\left(-1+3\right)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\)

\(BD=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2}\)

ABCD là hình thang cân

=>AC=BD

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=20\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(2x-7-1\right)^2=20\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(2x-8\right)^2=20\)

=>\(x^2-2x+1+4x^2-32x+64=20\)

=>\(5x^2-34x+65-20=0\)

=>\(5x^2-34x+45=0\)

=>\(5x^2-25x-9x+45=0\)

=>(x-5)(5x-9)=0

=>x=5 hoặc x=9/5

Khi x=5 thì y=2x-7=2*5-7=10-7=3

=>D(5;3)

Khi x=9/5 thì y=2x-7=2*9/5-7=18/5-7=18/5-35/5=-17/5

=>D(9/5;-17/5)

Chọn D.

Giả sử tọa độ điểm C là (x; y) ; 

 và 

Ta có :

Tứ giác ABCD hình vuông nên 

Giải hệ phương trình trên ta được x = 4; y = -2 hoặc x = 2; y = 2

Từ đó suy ra có 2 điểm C thỏa mãn là C(4; -2) hoặc C( 2; 2)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;4\right)=-4\left(1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình CD song song AB đi qua D có dạng:

\(1\left(x+6\right)+1\left(y+8\right)=0\Leftrightarrow x+y+14=0\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(-6;4\right)\)

Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc AB có dạng:

\(1\left(x+6\right)-1\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x-y+10=0\)

Gọi N là giao điểm CD và d \(\Rightarrow\) N là trung điểm CD do ABCD là hình thang cân

Tọa độ N là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+14=0\\x-y+10=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-12;-2\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_N-x_D=...\\y_C=2y_N-y_D=...\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\)

\(\overrightarrow{AD}=\left(x-1;y+1\right)\)

Vì ABCDlà hình vuông

nên vecto AB*vecto AD=0 và AB=AD

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-1\right)+y+1=0\\2^2+1^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-2+y+1=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y-1=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-2x+1\\\left(x-1\right)^2+\left(-2x+1+1\right)^2=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-2x+1\\\left(x-1\right)^2+4\left(x-1\right)^2=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-2x+1\\\left(x-1\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

(x-1)^2=1

=>x-1=1 hoặc x-1=-1

=>x=0 hoặc x=2

Khi x=0 thì y=-2*0+1=1(loại)

Khi x=2 thì y=-2*2+1=-3(nhận)

Vậy: D(2;-3)

a) \(\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)\) . Vì \(\frac{2}{2}\ne\frac{2}{-2}\) nên \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) không cùng phương => A; B; C không thẳng hàng

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC => \(\begin{cases}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-1+1+1}{3}=\frac{1}{3}\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+3+\left(-1\right)}{3}=1\end{cases}\)=> G(1/3; 1)

c) ABCD là hình bình hành <=> \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow\begin{cases}x_D-x_A=x_C-x_B\\y_D-y_A=y_C-y_B\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}x_D+1=0\\y_D-1=-4\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}x_D=-1\\y_D=-3\end{cases}\) Vậy D (-1;-3)

d)  \(\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)\)

=> \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.\left(-2\right)=0\)  =>  \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) vuông góc với nhau => tam giác ABC vuông tại A

Ta có: AB² = 2² + 2² = 8 ; AC² = 2² + (-2)² = 8 => AB = AC => Tam giác ABC cân tại A

vậy...

e) Có thể đề của bạn là tam giác ABE vuông cân tại E  ( Khi đó giải điều kiện: EA = EB và vec tơ EA . Vec tơ EB = 0)

g) M nằm trên Ox => M (m; 0)

Tam giác OMA cân tại O <=> OM = OA  Hay OM² = OA² <=> m² = (-1)² + 1² => m² = 2 <=> m = \(\sqrt{2}\) hoặc m = -  \(\sqrt{2}\)

Vậy M (\(\sqrt{2}\); 0) ; M (-\(\sqrt{2}\); 0 )

\(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(5;-10\right)\\\overrightarrow{CD}=\left(x+20;y\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{x+20}{5}=\dfrac{y}{-10}\)

\(\Rightarrow y=-2x-40\) \(\Rightarrow D\left(x;-2x-40\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(-30;-5\right)\\\overrightarrow{BD}=\left(x-15;-2x-35\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC=BD\Rightarrow30^2+5^2=\left(x-15\right)^2+\left(2x+35\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5x^2+110x+525=0\Rightarrow x=...\Rightarrow D\left(...\right)\)