A B C D E F O

a, xét tam giác ODC có : AB // DC

=> OA/OC = OB/OD = AB/DC (đl)

có : AB = 4; DC = 9 (gt)

=> OA/OC = OB/OD = 4/9 

B, xét tam giác ABD có : EO // AB (gt)  => EO/AB = DO/DB (hệ quả)        (1)

xét tam giác ABC có FO // AB (gt) => OF/AB = CO/CA (hệ quả)                (2)

xét tam giác ODC có AB // DC (gt) => DO/DB = CO/CA   (hệ quả)             (3)

(1)(2)(3) => OE/AB = OF/AB 

=> OE = OF 

xét tam giác ABD có : EO // AB(Gt) => EO/AB = DE/AD  (hệ quả)             (4)

xét tam giác ADC có EO // DC (gt) => OE/DC = EA/AD   (hệ quả)             (5)

(4)(5) => EO/AB + EO/DC = DE/AD + AE/AD 

=> EO(1/AB + 1/DC) = 1                                                                              (*)

xét tam giác ACB có FO // AB (gt) => OF/AB = FC/BC (hệ quả)                 (6)

xét tam giác BDC có OF // DC (gt) => OF/DC = BF/BC (hệ quả)                 (7)

(6)(7) => OF/AB + OF/DC = FC/BC + BF/BC

=> OF(1/AB + 1/DC) = 1                                                                               (**)

(*)(**) => OF(1/AB + 1/DC) + OE(1/AB + 1/DC) = 1 + 1

=> (OE + OF)(1/AB + 1/DC) = 2

=> EF(1/AB + 1/DC) = 2

=> 1/AB + 1/DC = 2/EF

A B C a O E F D

a,  xét tam giác ABD có : EO // AB (Gt)

=> EO/AB = DO/DB (hệ quả)                   (1)

xét tam giác ABC có : OF // AB (gt)

=> OF/AB = OC/CA (hệ quả)                          (2)

xét tam giác ODC có : AB // DC (gt)

=> DO/DB = OC/CA     (hệ quả)                             (3)

(1)(2)(3) => OE = OF 

b,  xét tam giác ABD  có EO // AB (gt)

=> EO/AB = DE/AD (hệ quả)                            (4)

xét tam giác ACD có : EO // DC 

=> EO/DC = EA/AD (hệ quả)                                (5)

(4)(5) => EO/AB + EO/DC = DE/AD + EA/AD

=> EO(1/AB + 1/BC) = AD/AD = 1                                 (*)

 xét tam giác ACB có : FO // AB 

=> OF/AB = FC/BC (hệ quả)                           (6)

xét tam giác BDC có : OF // DC 

=> OF/DC = BF/BC (hệ quả)                                 (7)

(6)(7) => OF/AB + OF/DC = FC/BC + BF/BC

=> OF(1/AB + 1/DC) = BC/BC = 1            (**)

(*)(**) => OF(1/AB + 1/CD) + OE(1/AB + 1/DC) = 2

=> (OF + OE)(1/AB + 1/DC) = 2

có OF + OE = EF

=> 1/AB + 1/DC = 2/EF

Sửa đề: a cắt AD,BC lần lượt tại E và F

Xét ΔADC có OE//DC

nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AE}{AD}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có OF//DC

nên \(\dfrac{OF}{DC}=\dfrac{BF}{BC}\left(2\right)\)

Xét hình thang ABCD có EF//AB//CD

nên \(\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}\)

=>\(\dfrac{ED}{AE}=\dfrac{CF}{BF}\)

=>\(\dfrac{ED+AE}{AE}=\dfrac{CF+BF}{BF}\)

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BC}{BF}\)

=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{BF}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra OE=OF

câu a,b dễ quá

c/Có: \(\frac{2}{EF}=\frac{2}{2OE}=\frac{1}{OE}\)

Ta có: \(\frac{OE}{AB}=\frac{DE}{AD}\left(1\right),\frac{OE}{CD}=\frac{AE}{AD}\left(2\right)\).Cộng (1) và (2) đc

\(OE\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{DE+AE}{AD}\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OE}\)

Suy ra ĐPCM

Để chứng minh OE = OF, ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

Vì a//AB và CD, ta có:

∠OAB = ∠OCD (cùng là góc đối)

∠OBA = ∠ODC (cùng là góc đối)

Do đó, tam giác OAB và OCD là hai tam giác đồng dạng (theo góc-góc).

Theo tính chất của các tam giác đồng dạng, tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là bằng nhau.

Vì vậy, ta có:

OA/OO = OB/OC

OD/OO = OC/OB

Từ đó, ta suy ra:

OA/OO = OD/OO

OA = OD

Vậy, ta có OA = OD.

Do đó, ta có tam giác OAE và ODF là hai tam giác cân (vì OA = OD).

Vì vậy, ta có OE = OF.

Vậy, ta đã chứng minh được OE = OF.