Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với gốc tọa độ O(0;0;0)

Khi đó, ta sẽ có tọa độ các đỉnh còn lại như sau:

\(A(0,0,0);B(a,0,0);C(a,a,0);A^{\prime}(0,0,a);B^{\prime}(a,0,a);C^{\prime}(a,a,a)\)

Tọa độ M là trung điểm của A'B' là:

\(\begin{cases}x=\frac{0+a}{2}=\frac{a}{2}\\ y=\frac{0+0}{2}=0\\ z=\frac{a+a}{2}=a\end{cases}\)

=>M(a/2;0;a)

Tọa độ N là trung điểm của BC là:

\(\begin{cases}x=\frac{a+a}{2}=a\\ y=\frac{0+a}{2}=\frac{a}{2}\\ z=\frac{0+0}{2}=0\end{cases}\)

=>N(a;a/2;0)

\(\overrightarrow{MN}=\left(a-\frac{a}{2};\frac{a}{2}-0;0-a\right)=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-a\right)\)

\(\overrightarrow{AC^{\prime}}=\left(a-0;a-0;a-0\right)=\left(a;a;a\right)\)

\(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AC^{\prime}}=\frac{a}{2}\cdot a+\frac{a}{2}\cdot a-a\cdot a=0\)

=>MN⊥AC'

Trong mp (ABCD), nối AN kéo dài cắt BC kéo dài tại E

\(\Rightarrow E\in\left(SBC\right)\)

Do AD song song BE, áp dụng Talet:

\(\dfrac{AN}{NE}=\dfrac{ND}{NC}=1\Rightarrow AN=NE\Rightarrow\) N là trung điểm AE

\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SAE

\(\Rightarrow MN//SE\Rightarrow MN//\left(SBC\right)\)

a: ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương

=>AA'//BB'//CC'//DD' và AA'=BB'=CC'=DD'

Xét tứ giác AA'C'C có 

AA'//CC'

AA'=CC'

Do đó: AA'C'C là hình bình hành

=>AC//A'C'

ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương

=>ABCD và A'B'C'D' là hình vuông

ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và CA là phân giác của góc BCD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=45^0\) và \(\widehat{BCA}=\widehat{DCA}=45^0\)

\(\widehat{A'C';BC}=\widehat{AC;BC}=\widehat{ACB}=45^0\)

b: Xét ΔBAC có M,N lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC

Xét ΔA'AD' có

E,F lần lượt là trung điểm của AA',A'D'

=>EF là đường trung bình của ΔA'AD'

=>EF//AD'

ABCD.A'B'C'D là hình vuông

=>ADD'A' là hình vuông; DCC'D' là hình vuông
ABCD là hình vuông

=>\(AC=AB\cdot\sqrt{2}\)(1)

ADD'A' là hình vuông

=>\(AD'=AD\cdot\sqrt{2}=AB\cdot\sqrt{2}\)(2)

DCC'D' là hình vuông

=>\(CD'=CD\cdot\sqrt{2}=AB\cdot\sqrt{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC=AD'=D'C

=>ΔAD'C đều

=>\(\widehat{D'AC}=60^0\)

\(\widehat{MN;EF}=\widehat{AC;AD'}=\widehat{CAD'}=60^0\)

c: \(\widehat{MN;BC}=\widehat{AC;CB}=\widehat{ACB}=45^0\)

d: \(\widehat{EF;CC'}=\widehat{AD';DD'}=\widehat{AD'D}=45^0\)

Đáp án B