Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa mặt phẳng $(SAD)$ và đáy bằng $45^\circ$:
Vector $\vec{SA} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$
Vector $\vec{AD} = (0 - 0, a - 0, 0 - 0) = (0,a,0)$
Vector pháp tuyến của $(SAD)$: $\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & 0 & -h \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = (ah, 0, -a^2/2)$
Vector pháp tuyến đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$
$\cos 45^\circ = \dfrac{| \vec{n} \cdot n_{ABCD} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|-a^2/2|}{\sqrt{(ah)^2 + 0^2 + (a^2/2)^2}} = \dfrac{a^2/2}{\sqrt{a^2 h^2 + a^4/4}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4 h^2 / a^2}}$
Theo đề: $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4 h^2 / a^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 1 + 4 h^2 / a^2 = 2 \Rightarrow h^2 = a^2/4 \Rightarrow h = a/2$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{6}$
Vậy: $V = \dfrac{a^3}{6}$
Chọn B.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó trong tam giác đều $ABC$:
$AM \perp BC$
và:
$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với $BC$ trong hai mặt phẳng đó, tức là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy: $V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án A.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy:
$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án D.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:
$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó:
$AM \perp BC$ và: $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ chính là:
$\widehat{SMA}=60^\circ$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$
$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$
$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Vậy:
$V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.
Chọn đáp án A.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:
$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$
Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$
Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$
$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$
$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$
Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$
Chọn C.
