Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình vuông

=>AB=BC=CD=DA=a

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(AC=a\sqrt2\)

ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

=>\(OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)

=>SO⊥(ABCD)

Gọi N là trung điểm của AB

ΔOAB cân tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên ON⊥AB

ΔOAB vuông tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên ON=AB/2=a/2

Ta có: ON⊥ AB

SO⊥ AB

mà ON,SO cùng thuộc mp(SON)

nên AB⊥(SON)

=>Góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABCD) là góc SNO=45 độ

=>ΔSON vuông cân tại O

=>SO=ON=a/2

a: TA có: BO⊥AC

BO⊥ SO

SO,AC cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BO⊥(SAC)

=>d(B;(SAC))=BO=a\(\frac{\sqrt2}{2}\)

b; Trong mp(SON), kẻ OK⊥ NS tại K

AB⊥(SON)

=>AB⊥OK

mà OK⊥ SN

nên OK⊥(SAB)

=>d(O;(SAB))=OK

Xét ΔSON vuông tại O có OK là đường cao

nên \(OK\cdot SN=OS\cdot ON\)

=>\(OK=\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}:\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a^2}{4}:\sqrt{\frac{2a^2}{4}}=\frac{a^2}{4}:\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a^2}{4}\cdot\frac{2}{a\sqrt2}=\frac{a\sqrt2}{4}\)

=>d(O;(SAB))=OK=\(\frac{a\sqrt2}{4}\)

c: CD//AB

=>CD//(SAB)

=>d(C;(SAB))=2*d(O;(SAB))=\(\frac{a\sqrt2}{2}\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình vuông

=>AB=BC=CD=DA=a

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(AC=a\sqrt2\)

ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

=>\(OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)

=>SO⊥(ABCD)

Theo đề, ta có: \(\hat{SAO}=\hat{SBO}=\hat{SCO}=\hat{SDO}=30^0\)

Xét ΔSOA vuông tại O có tan SAO=SO/AO

=>\(SO=\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\tan30=\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{a\sqrt6}{6}\)

a: TA có: BO⊥AC

BO⊥ SO

SO,AC cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BO⊥(SAC)

=>d(B;(SAC))=BO=a\(\frac{\sqrt2}{2}\)

b: Gọi M là trung điểm của CD

ΔOCD vuông tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM=MC=MD=CD/2=a/2

ΔOCD cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM⊥CD tại M

CD⊥ SO

CD⊥ OM

mà SO,OM cùng thuộc mp(SOM)

nen CD⊥(SOM)

Kẻ OH⊥ SM tại H

=>CD⊥ OH

=>OH⊥(SCD)

=>d(O;(SCD))=OH

Xét ΔSOM vuông tại O có OH là đường cao

nên \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OS^2}+\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{\left(\frac{a\sqrt6}{6}\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{10}{a^2}\)

=>\(OH^2=\frac{a^2}{10}\)

=>\(OH=\frac{a\sqrt{10}}{10}\)

=>d(O;(SCD))=\(\frac{a\sqrt{10}}{10}\)

c: AB//CD
=>AB//(SCD)

=>d(A;(SCD))=2*d(O;(SCD))=2*OH=\(\frac{a\sqrt{10}}{5}\)

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d_A = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,h)$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 h$

$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$

Suy ra: $d_A = \dfrac{2a^2 h}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

Theo đề: $\dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = a\sqrt{3}$

⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \sqrt{3}$

Giải ra:

$\dfrac{4h^2}{5h^2 + 4a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3(5h^2 + 4a^2)$

⇒ $4h^2 = 15h^2 + 12a^2 \Rightarrow 11h^2 = -12a^2$ (vô lý)

Nhận xét: khoảng cách không phụ thuộc vào $h$ theo cách trực tiếp, ta dùng tính chất hình học.

Vì đáy là hình chữ nhật nên $AC$ cắt $(SBD)$ tại trung điểm của $BD$.

Khoảng cách từ các điểm $A, C$ đến $(SBD)$ tỉ lệ với khoảng cách theo phương vuông góc.

Do tính đối xứng của hình chữ nhật:

$d_C = d_A$

Vậy: $d_C = a\sqrt{3}$.

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$ ⇒ $C(a,b,0)$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,b,-h)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (bh,\ ah,\ ab)$.

Khoảng cách từ điểm $M(x,y,0)$ đến $(SBD)$:

$d(M) = \dfrac{|bhx + ahy|}{\sqrt{(bh)^2 + (ah)^2 + (ab)^2}}$.

Áp dụng: $d_A = \dfrac{abh}{\text{mẫu}},\quad d_C = \dfrac{2abh}{\text{mẫu}} \Rightarrow d_C = 2d_A$.

Theo đề: $d_A = \dfrac{6a}{7}$ ⇒ $d_C = 2 \cdot \dfrac{6a}{7} = \dfrac{12a}{7}$.

Đáp án: A. $\dfrac{12a}{7}$

ĐÁP ÁN: D

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SD$:

$\vec{SD} = (0,2a,-h),\ SD = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SD$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SD} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{4a^2 + h^2} \Rightarrow 3(4a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 12a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 12a^2 \Rightarrow h = 2a\sqrt{3}$.

⇒ $S(0,0,2a\sqrt{3})$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-2a\sqrt{3}),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a\sqrt{3})$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2\sqrt{3},\ 2a^2\sqrt{3},\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,2a\sqrt{3})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = 4a^3\sqrt{3}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{48 + 12 + 4} = a^2\sqrt{64} = 8a^2$.

Suy ra: $d = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{8a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

(SA;(ABCD))=45 độ

=>(AS;(AO)=45 độ

=>góc SAO=45 độ

AC=2a*căn 2

=>AO=a*căn 2

=>SO=a*căn 2

D. Đa số có khả năng di chuyển