Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn đáp án A
+ Ta có
nên K là trọng tâm của tam giác BCD
+ Ta dễ dàng chứng minh được SH ⊥ (BKH) ⇒ SB, (BKH) = SBH
a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.
Ta có 
Do đó (SBC) ⊥ (SIK)
b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).
Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK
ta có 
Ta lại có:
Do đó:
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng 
a)
Ta có $ABCD$ là hình vuông nên:
$AD \parallel BC$.
Gọi $I,\ K$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ BC$ nên:
$IK \parallel AB$.
Mặt khác:
$SA = SB = SC = SD$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ tại tâm $O$ của hình vuông.
Suy ra:
$SO \perp (ABCD)$.
Do đó:
$SO \perp IK$ và $SO \perp BC$.
Xét hai mặt phẳng $(SIK)$ và $(SBC)$:
$(SIK)$ chứa $SI$ và $IK$$(SBC)$ chứa $SB$ và $BC$Ta có:
$IK \parallel AB \perp BC$ nên:
$IK \perp BC$.
Mặt khác:
$SO \perp BC$.
Suy ra:
$BC \perp (SIK)$.
Mà $BC \subset (SBC)$ nên:
$(SIK) \perp (SBC)$.
b)
Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Ta có:
$SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AD$.
Xét mặt phẳng $(SBD)$:
Ta có $AD \perp BD$ và $AD \perp SO$ nên:
$AD \perp (SBD)$.
Suy ra khoảng cách giữa $AD$ và $SB$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
Tính:
Trong tam giác vuông $SBD$:
$BD = a\sqrt{2}$, $SB = a\sqrt{2}$, $SD = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \triangle SBD$ đều.
Diện tích:
$S_{SBD} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot h$ với $h = d(A,(SBD))$.
Mặt khác:
$V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot SO$.
Tính $SO$:
$OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2a^2 - \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{2}$
$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
Suy ra:
$V = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$.
Do đó:
$\dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot d = V$
$\Rightarrow d = \dfrac{3V}{S_{SBD}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2}$
$= \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = a\sqrt{2}$.
a)
Ta có $SA = SB = SC = SD$ nên $S$ cách đều $A,B,C,D$.
Suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại tâm $O$ của hình chữ nhật.
Do đó: $SO \perp (ABCD)$.
Mà $O \in AC$ nên: $SO \perp AC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAC)$ chứa đường thẳng $SO \perp (ABCD)$.
Vậy: $(SAC) \perp (ABCD)$.
b)
Ta có $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.
Trong tam giác vuông $SOC$:
$SC = 2a,\ OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Áp dụng Pitago:
$SO^2 = SC^2 - OC^2 = (2a)^2 - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2$
$= 4a^2 - \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{16a^2 - 5a^2}{4} = \dfrac{11a^2}{4}$
$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(SCD)$:
Xét tam giác $SCD$, ta có $O$ là trung điểm $CD$ chiếu lên.
Do tính đối xứng, khoảng cách cần tìm chính là chiều cao từ $O$ xuống $(SCD)$.
Vậy $d(O,(SCD)) = \dfrac{a\sqrt{11}}{6}$.
c)
Gọi $M$ là trung điểm $SA,\ N$ là trung điểm $BC$.
Ta có: $MN \parallel SB$ (định lý trung điểm trong không gian).
Xét góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$ chính là góc giữa $SB$ và $(SBD)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABD)$.
Ta có: $\sin \widehat{(SB,(SBD))} = \dfrac{SH}{SB}$.
Tính được: $\sin = \dfrac{\sqrt{11}}{4}$.
S A B C D H O K I L T
a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB
=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).
b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)
=> (SC,SAB) = ^CAB
\(SB=\sqrt{AS^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}\)\(=a\sqrt{3}\)
\(\tan\widehat{CAB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)=> (SC,SAB) = ^CAB = 300.
c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.
BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC
=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).
Dễ thấy \(\Delta\)SAB = \(\Delta\)SAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => \(\frac{HS}{HB}=\frac{KS}{KT}\)=> HK || BT || CD
=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = \(\frac{IL}{AL}.AL=\frac{CO}{CA}.\frac{SI}{SO}.AL=\frac{1}{2}.\frac{SH}{SB}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{SA^2}{SA^2+SB^2}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{2a^2+a^2}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+2a^2}}=\frac{a}{3}\)
a.
Do AD song song BC nên góc giữa SD và BC là góc giữa SD và AD, cùng là góc \(\widehat{SDA}\)
Áp dụng định lý hàm cosin:
\(cos\widehat{SDA}=\dfrac{SD^2+AD^2-SA^2}{2SD.AD}=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow\widehat{SDA}=82^049'\)
b.
Do chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông nên chóp là chóp đều
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AC\perp BD\) tại O và \(SO\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OCD\) là hình chiếu vuông góc của tam giác SCD lên (ABCD)
\(OC=OD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{2AB^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow S_{OCD}=\dfrac{1}{2}OC.OD=a^2\)
a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)
=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o
=> Tam giác ABD đều.
Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.
* Gọi H là tâm của tam giác ABD
=>SH ⊥ (ABD)
*Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,a,0), D(0,a,0)$
Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy là trung điểm $AB$:
$H = (a,0,0)$ ⇒ $S = (a,0,h)$
Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ$:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA_z}{\sqrt{(C_x - S_x)^2 + (C_y - S_y)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{(2a - a)^2 + (a - 0)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2}} = \dfrac{h}{a \sqrt{2}}$
Vậy $h = a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a \sqrt{6}$
Vector:
$\vec{SB} = B - S = (2a - a, 0 - 0, 0 - a\sqrt{6}) = (a,0,-a\sqrt{6})$
$\vec{AC} = C - A = (2a - 0, a - 0, 0 - 0) = (2a, a, 0)$
Góc giữa hai đường thẳng:
$\cos \theta = \dfrac{\vec{SB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{SB}| |\vec{AC}|}$
Tính:
$\vec{SB} \cdot \vec{AC} = a\cdot 2a + 0\cdot a + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = 2a^2$
$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 0 + 6a^2} = \sqrt{7} a$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + a^2 + 0} = \sqrt{5} a$
$\cos \theta = \dfrac{2a^2}{a \sqrt{7} \cdot a \sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{35}}$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:
$\theta = \arccos\left(\dfrac{2}{\sqrt{35}}\right)$