Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của AB. Từ giả thiết ta có S H ⊥ A B C D  

Suy ra

⇒ S H C vuông cân tại H.

Do ∆ B H C  vuông tại H nên

⇒ S H = H C = a 5 2  

Thể tích khối chóp V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = a 3 5 6 đ v t t  là

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy bằng $\theta = 45^\circ$:

Vector $\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\cos 45^\circ = \dfrac{|\text{chiều ngang của SC}|}{|\vec{SC}|} = \dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2}}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}} = \dfrac{\sqrt{5}/2 \, a}{\sqrt{5/4\, a^2 + h^2}}$

Theo đề: $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{5} a / 2}{\sqrt{5 a^2 /4 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sqrt{5 a^2 /4 + h^2} = \sqrt{5/2} a \Rightarrow 5a^2/4 + h^2 = 5a^2/2 \Rightarrow h^2 = 5a^2/4 \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{5}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$

Chọn D.