Đáp án là A

Ta có: S D ; A B C D ^ = S D ; A D ^ = S D A ^ .

Trong tam giác SAD có:

tan S D A ^ = S A A D = a 3 a = 3 ⇒ S D A ^ = 60 0 .

Chọn đáp án A.

Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của AB.

Khi đó G là giao điểm của AC và DN. Tam giác SGD vuông tại G nên  S D G ^ nhọn

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $45^\circ$:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SC_z}{SC_{xy}} = 1 \Rightarrow SC_z = SC_{xy}$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = (\dfrac{a}{2}, a, -h)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy: $SC_{xy} = \sqrt{(\dfrac{a}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Do $SC_z = h = SC_{xy} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Chọn D.

Đáp án B

Dễ thấy: S C H ^ = 45 ∘  Gọi H là trung điểm của AB ta có  S H ⊥ A B ⇒ S H ⊥ A B C D .

Ta có: S H = H C = a 17 2 .  

Ta có:  d = d M , S A C = 1 2 d D , S A C

Mà 1 2 d D , S A C = 1 2 d B , S A C  nên  d = d H , S A C

Kẻ H I ⊥ A C , H K ⊥ S I ⇒ d H , S A C = H K  

Ta có: H I = A B . A D 2 A C = a 5 5  

Từ đó suy ra: d = H K = S H . H I S I = a 1513 89 .