Đáp án D

+Vì  S A B ⊥ A B C D , S A D ⊥ A B C D   mà S A B ∩ S A D = S A nên  S A  là đường cao của khối chóp

+ Xét tam giác vuông  S A C

S A = tan 60 o . A C = 3 . a . 5 = a 15

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

a+b>c =>c-a<b =>c²-2ac+a²<b²

a+c>b =>b-c <a =>b²-2bc+c²<a²

b+c>a =>a-b<c =>a²-2ab+b²<c²

Suy ra: c²-2ac+a²+b²-2bc+c²+a²-2ab+b²<a²+b²+c²

<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a²+b²+c²)<a²+b²+c²

<=>-2(ab+bc+ca)<-(a²+b²+c²)

<=>2.(ab+bc+ca)<a²+b²+c²

Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của AB. Từ giả thiết ta có S H ⊥ A B C D  

Suy ra

⇒ S H C vuông cân tại H.

Do ∆ B H C  vuông tại H nên

⇒ S H = H C = a 5 2  

Thể tích khối chóp V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = a 3 5 6 đ v t t  là

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy bằng $\theta = 45^\circ$:

Vector $\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\cos 45^\circ = \dfrac{|\text{chiều ngang của SC}|}{|\vec{SC}|} = \dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2}}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}} = \dfrac{\sqrt{5}/2 \, a}{\sqrt{5/4\, a^2 + h^2}}$

Theo đề: $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{5} a / 2}{\sqrt{5 a^2 /4 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sqrt{5 a^2 /4 + h^2} = \sqrt{5/2} a \Rightarrow 5a^2/4 + h^2 = 5a^2/2 \Rightarrow h^2 = 5a^2/4 \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{5}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$

Chọn D.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $45^\circ$:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SC_z}{SC_{xy}} = 1 \Rightarrow SC_z = SC_{xy}$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = (\dfrac{a}{2}, a, -h)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy: $SC_{xy} = \sqrt{(\dfrac{a}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Do $SC_z = h = SC_{xy} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Chọn D.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Tọa độ $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$ và $C(a,a,0)$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - \dfrac{a\sqrt{15}}{2}) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$

Vector pháp tuyến đáy: $\vec{n} = (0,0,1)$

Góc $\theta$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SC}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{\left| -\dfrac{a\sqrt{15}}{2} \right|}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{15 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{ \dfrac{20 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{5} a} = \dfrac{\sqrt{15}/2}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy: $\theta = 30^\circ$

Chọn A.