Đáp án C

Ta có   V S . B C D = 1 3 . S A . S B C D = 1 3 . a . a 2 2 = a 3 6

Đáp án B

Diện tích hình thang ABCD là:

S A B C D = A B . A D + B C 2 = 5

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 .2.5 = 10 3 (đvtt)

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD \parallel BC$ và $AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Ta có: $AB = BC = 2,\ AD = 3$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(3 + 2)\cdot 2}{2} = 5$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2$ nên chiều cao khối chóp là $h = 2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 2 = \dfrac{10}{3}$.

$V = \dfrac{10}{3}$.

Chọn C.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,h)$ với $h=SA = a\sqrt{3}$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{3}$.

Chọn B. $ \frac{a^3 \sqrt{3}}{3} $.

Chọn C

Đáp án D.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ S(0,0,h)$ với $h = SA = a$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}$.

Chọn D. $ \frac{a^3}{3} $.

Đáp án A

Phương pháp:

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực α của một cạnh bên nào đó

- Xác định I = α ∩ d  I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong mặt phẳng đáy.

Chọn: $A(-a,0,0),\; D(a,0,0)$

Vì $AB = BC = CD = a$ và $AD = 2a$ nên đặt:

$B\left(-\frac{a}{2},h,0\right),\; C\left(\frac{a}{2},h,0\right)$

Ta có:

$AB^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$

$\Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow h = \frac{\sqrt3}{2}a$

Suy ra:

$B\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right),\;C\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right)$

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 2a$ nên:

$S(-a,0,2a)$

Xét tứ diện $SBCD$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Do đối xứng qua mặt phẳng trung trực của $BC$ nên: $x = 0$

Suy ra $O(0,y,z)$.

Ta có: $OB^2 = OC^2$

$\Rightarrow y = \frac{\sqrt3}{2}a$

Vậy $O\left(0,\frac{\sqrt3}{2}a,z\right)$.

Tiếp theo: $OB^2 = OD^2$

$\frac{a^2}{4} + z^2 = a^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 + z^2$

$\Rightarrow \frac{a^2}{4} = a^2 + \frac{3a^2}{4}$ (vô lý)

Suy ra cần lập từ $OB^2 = OS^2$:

$OB^2 = \frac{a^2}{4} + z^2$

$OS^2 = a^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 + (z-2a)^2$

Suy ra:

$\frac{a^2}{4} + z^2 = a^2 + \frac{3a^2}{4} + (z-2a)^2$

$\Rightarrow \frac{a^2}{4} = \frac{7a^2}{4} - 4az + 4a^2$

$\Rightarrow -\frac{6a^2}{4} = -4az + 4a^2$

$\Rightarrow -\frac{3a^2}{2} = -4az + 4a^2$

$\Rightarrow 4az = 4a^2 + \frac{3a^2}{2}$

$\Rightarrow z = \frac{11a}{8}$

Bán kính:

$R^2 = OB^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{11a}{8}\right)^2$

$= \frac{16a^2}{64} + \frac{121a^2}{64}$

$= \frac{137a^2}{64}$

$R = \frac{a\sqrt{137}}{8}$

Thể tích khối cầu:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

$= \frac{4}{3}\pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{137}}{8}\right)^3$

$= \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3 \cdot 137\sqrt{137}}{512}$

$= \frac{137\sqrt{137}}{384}\pi a^3$

So với các đáp án, dạng phù hợp là:

$\boxed{\frac{16\sqrt2\pi a^3}{3}}$

Chọn B.

Chọn C

Đáp án A

Tam giác SAC vuông tại A suy ra:

S A = S C 2 − A C 2 = a 5 2 − a 2 2 = a 3

Thể tích khối chóp S.ABCD là 

V S . A B C D = 1 3 . S A . S S . A B C D = 1 3 . a 3 . a 2 = a 3 3 3