S A B C D M O N H 45 ❤sin45=\(\dfrac{SO}{SM}\) => SO=sin45 . SM= \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

OM= \(\sqrt{SM^2-SO^2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

BC = 2OM => BC=\(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

V = \(\dfrac{1}{3}.AB.BC.SO=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}=\dfrac{a^3}{4}\)

❤ta có: SM⊂ (SAB) (1)

mà: \(\left\{{}\begin{matrix}NC//AB\\AB\subset\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) => NC// (SAB) (2)

từ (1) và (2) => SM//NC

\(d_{\left(SM,NC\right)}=d_{\left(NC,\left(SAB\right)\right)}=d_{\left(N,\left(SAB\right)\right)}=2d_{\left(O,\left(SAB\right)\right)}\)

+kẻ OH⊥SM

+ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp OM\\AB\perp SO\end{matrix}\right.\) => AB ⊥ (SOM) \(\supset OH\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}OH\perp AB\\OH\perp SM\end{matrix}\right.\) => OH⊥(SAB)

➜d_(O,(SAB)) =OH

OH=\(\dfrac{OM.SO}{\sqrt{OM^2+SO^2}}\)\(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

➜d_(N,(SAB)) =d_(SM,NC)= \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án D

S B M H A E N C D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra \(SH\perp\left(ABCD\right)\)

Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Ta có : \(SA^2+SB^2=a^2+3a^2=AB^2\)

Nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S.

Suy ra : \(SM=\frac{AB}{2}=a\) Do đó tam giác SAM là tam giác đều, suy ra \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Diện tích của tứ giác BMDN là \(S_{BMDN}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=2a^2\)

Thể tích của khối chóp S.BMDN là \(V=\frac{1}{3}SH.S_{BMDN}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)

Kẻ ME song song với DN (E thuộc AD)

Suy ra : \(AE=\frac{a}{2}\) Đặt \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SM và DN

Ta có \(\left(\widehat{SM,ME}\right)=\alpha\), theo định lý 3 đường vuông góc ta có \(SA\perp AE\)

Suy ra :

\(SE=\sqrt{SA^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2};ME=\sqrt{AM^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Tam giác SME là tam giác cân tại E nên \(\begin{cases}\widehat{SME}=\alpha\\\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\end{cases}\)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

Ta có mặt phẳng (ABCD) có vectơ pháp tuyến là , mặt phẳng (GMN) có vectơ pháp tuyến là

Gọi (α) là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD), ta có

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M và N lên (ABCD). Suy ra E, F lần lượt là trung điểm của HC, HD.

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Mà d ⊥ (SIH) nên góc giữa góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD) là

HCN ko cho bk cạnh hả b?

Chọn A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = (0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, h, a)$

Góc giữa $(SCD)$ và đáy: $\cos \theta = \dfrac{|n_z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{17}} \Rightarrow h^2 + a^2 = \dfrac{17}{4} a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13}{4} a^2 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{13}}{2} = \dfrac{13 a^3}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{13 a^3}{6}$

Chọn A.

Chọn đáp án C

Gọi O là trung điểm AB.

Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc (ABCD) nên

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Chọn a = 2.

Khi đó: 

Ta có mặt phẳng (ABCD) có vecto pháp tuyến là 

Mặt phẳng (GMN) có vecto pháp tuyến là 

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

Ta có: