Câu 1:

\(ABCI\) là hình vuông \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD=\sqrt{IC^2+ID^2}=a\sqrt{2}\\AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AC^2+CD^2=AD^2\Rightarrow\Delta ACD\) vuông cân tạiC

\(\Rightarrow OC\perp CD\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SOC\right)\)

Từ O kẻ \(OH\perp SC\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\) \(\Rightarrow OH\perp SD\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BI\perp SO\\BI\perp OC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BI\perp\left(SOC\right)\Rightarrow BI\perp OH\)

\(SC=\sqrt{SO^2+OC^2}=a\sqrt{2}\) \(\Rightarrow SH=\frac{SO^2}{SC}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)

Qua H kẻ đường thẳng song song CD cắt SD tại K

\(\frac{SH}{SC}=\frac{HK}{CD}\Rightarrow HK=\frac{SH.CD}{SC}=\frac{3a}{4}\)

Trên toa OI lấy điểm P sao cho \(OP=\frac{3a}{4}\)

\(\Rightarrow OHKP\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow OH//KP\Rightarrow KP\) là đoạn vuông góc chung của \(BI\) và SD

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OC^2}\Rightarrow KP=OH=\frac{SO.OC}{\sqrt{SO^2+OC^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\)

Câu 2:

a/ Kẻ \(MH\perp AC\Rightarrow MH\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MSH}\) là góc giữa SM và (SAC)

\(SM=\sqrt{SA^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=a\sqrt{10}\) ; \(MH=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(sin\widehat{MSH}=\frac{MH}{SM}=\frac{\sqrt{30}}{20}\Rightarrow\widehat{MSH}\approx15^053'\)

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}MC\perp AB\\MC\perp SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa \(\left(SMC\right)\) và \(\left(ABC\right)\)

\(tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=3\Rightarrow\widehat{SMA}\approx71^033'\)

c/ Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow NG=\frac{1}{3}NS\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)

Từ N kẻ \(NK\perp AB\Rightarrow NK\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow NK=d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)

\(NK=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

a: BD⊥AC(ABCD là hình thoi)

BD⊥ SO(SO⊥(ABCD))

mà SO,AC cùng thuộc mp(SAC)

nên BD⊥(SAC)

=>(SBD)⊥(SAC)

Đáy ABCD là hình gì cạnh a bạn? Hình vuông hay hình thoi?

Hình chắc bạn có rồi nên ko cần vẽ nữa

Qua N kẻ đường thẳng song song CD cắt SD tại E \(\Rightarrow NE//AB\Rightarrow E\in\left(ABN\right)\)

Nối SQ cắt NE tại F \(\Rightarrow SQ\perp NE\) (do \(SQ\perp CD\)) (1)

\(AB\perp SM\Rightarrow NE\perp SM\) (do \(NE//AB\) ) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow NE\perp\left(SMQ\right)\Rightarrow\left(ABNE\right)\perp\left(SMQ\right)\)

Lại có \(\left(SMQ\right)\perp\left(SCD\right)\Rightarrow\widehat{SFM}\) là góc giữa (ABN) và (SCD)

Đến đoạn tính toán:

\(SQ=\sqrt{SM^2+MQ^2}=...\) (MQ=BC=a)

\(\Rightarrow SF=\frac{1}{2}SQ=...\)

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow OF=\frac{1}{2}SM=...\) (t/c đường trung bình)

\(\Rightarrow MF=\sqrt{OF^2+OM^2}=...\) (\(OM=\frac{1}{2}BC=...\))

Áp dụng định lý hàm cos:

\(cos\widehat{SFM}=\frac{SF^2+MF^2-SM^2}{2SF.MF}=...\)

Bạn ghi lại đề, đề bài từ đoạn "gọi M, Q..." trở đi là thấy ko chính xác nữa

S A B C D N P M H Q

Qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt SB tại P \(\Rightarrow ADNP\) là hình thang cân

Gọi H là trung điểm NP \(\Rightarrow MH\perp AD\)

\(\Rightarrow AD\perp\left(SHM\right)\Rightarrow PN\perp\left(SHM\right)\)

Mà PN là giao tuyến của (SBC) và (ADN)

\(\Rightarrow\widehat{SHM}\) là góc giữa (SBC) và (ADN)

\(MQ=AB=a\Rightarrow SQ=\sqrt{SM^2+MQ^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow SH=\frac{1}{2}SQ=\frac{a\sqrt{7}}{4}\)

Do \(MH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SMQ \(\Rightarrow MH=\frac{1}{2}SQ=\frac{a\sqrt{7}}{4}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{SHM}=\frac{SH^2+HM^2-SM^2}{2SH.HM}=\frac{1}{7}\)

Bạn coi lại dữ liệu bài toán, vừa thừa vừa thiếu

SA=SC=AC nên tam giác SAC đều thì hiển nhiên \(\widehat{CSA}=60^0\) ko cần đề bài phải cho nữa

\(\widehat{ASB}=90^0\) và SA=SB thì tam giác SAB vuông cân tại S nên ta có \(AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=a\sqrt{2}\) cũng không cần đề phải cho

Nhưng hoàn toàn ko có dữ liệu BC hoặc góc A của tam giác ABC để định dạng đáy