ĐÁP ÁN: B

\(SA\perp\left(ABC\right)\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow SA\perp AB;SA\perp BC\)

Mặt khác: \(AB\perp BC\Rightarrow BC\perp SB\)

Vậy góc giữa (SBC) Và đáy là góc: \(\widehat{SBA}=\alpha\)

Trong tam giác vuông \(SBA\) ta có: 

\(\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\alpha=60^o\)

Giải giúp e với ạ

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=a$ nên:

$S(a,0,a)$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{SA}=(0,0,a),\ \vec{AC}=(-a,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{SA}\times\vec{AC}=(-a^2,-a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(1,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=(-a,0,-a),\ \vec{BC}=(0,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là:

$\vec n_2=\vec{SB}\times\vec{BC}=(a^2,0,-a^2)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_2=(1,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{|1\cdot1+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+1^2}\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$=\dfrac{1}{2}$.

Suy ra:

$\alpha=60^\circ$.

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án B

Ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ SC, do đó góc giữa mp (SBC) và mp (ABC) chính là góc SCA.

Mặt khác

Vì tam giác SAC vuông tại A nên ta có

đặt t = sin α  ta có hàm số thể tích theo t như sau

+ Ta có  S A B ⊥ A B C S A C ⊥ A B C S A C ∩ S A B = S A ⇒ S A ⊥ A B C

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒  N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là  S B A ^ = 60 °

⇒  SA = AB.tan 60 °  = 2a 3

AC =  A B 2 + B C 2 = 2 a 2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ → qua ba vectơ không cùng phương  A B → ;   A C → ;   A S → .

I J → = I A → + A N → + N J → = m A B → + 1 2 A C → + p N S → = m A B → + 1 2 A C → + p N A → + A S → = m A B → + 1 − p 2 A C → + p A S →

Ta có: I J → ⊥ A B → I J → ⊥ N S → ⇔ I J → . A B → = 0 I J → . N S → = 0  

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: I J → = − 6 13 A B → + 6 13 A C → + 1 13 A S → . Suy ra

169 I J 2 = 36 A C 2 + 36 A B 2 + A S 2 − 72 A B → . A C → .

Thay số vào ta tính được IJ = 2 a 39 13 .

Vậy d(AB; SN) = 2 a 39 13 .

Đáp án D

Nhận xét

Gọi (α) là mặt phẳng qua SM và song song với AB.

Ta có BC // (α) và (ABC) là mặt phẳng chứa BC nên (ABC) sẽ cắt (α) theo giao tuyến d đi qua M và song song với BC, d cắt AC tại N.

Ta có (α) chính là mặt phẳng (SMN). Vì M là trung điểm AB nên N là trung điểm AC.

+ Xác định khoảng cách.

Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AB.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SN và d’.

Ta có: AB // (P).

Khi đó: d(AB, SN) = d(A, (P)).

Dựng AD ⊥ d’, ta có AB // (SDN). Kẻ AH vuông góc với SD, ta có AH ⊥ (SDN) nên:

d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH.

Trong tam giác SAD, ta có 

Trong tam giác SAB, ta có S A   =   A B . tan 60 o   =   2 a 3 và AD = MN = BC/2 = a.

Thế vào (1), ta được

Gọi  là trung điểm của  suy ra

.

Ta có: 

a: BC vuông góc AM

BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAM)

b: BC vuông góc (SAM)

=>BC vuông góc SM

=>(SM;(ABC))=90 độ