Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án A
Gọi I,J lần lượt là trung điểm cạnh BC và SA
Ta có A C ⊥ S B D , EI // AC, MJ//AC => E I ⊥ ( S B D ) , M J ⊥ ( S B D )
Suy ra, IJ là hình chiếu vuông góc của EM lên (SBD)
Đáp án C
Phương pháp:
- Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tọa độ các điểm E, M.
- Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin α = n → . u → n → . u →
Cách giải:
Đáp án A
Gọi I,J lần lượt là trung điểm cạnh BC và SA
Suy ra, IJ là hình chiếu vuông góc của EM lên (SBD)
Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Theo giả thiết: $d=3$.
Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:
$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.
Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Mặt khác: $SA\perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SMA}$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.
Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.
Thể tích:
$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.
Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:
$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.
Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.
Thế vào biểu thức thể tích:
$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$
$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.
Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.
Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.
Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.
Xét: $f(t)=t-t^3$.
$f'(t)=1-3t^2$.
$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.
Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
Chọn đáp án C.
Gọi:
$AC=BC=x$ vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
Do $SA\perp(ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
Ta có: $SC=a$ nên: $SA^2+AC^2=a^2$
$\Rightarrow SA^2+x^2=a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot SA$
$=\dfrac{x^2SA}{6}$.
Từ: $SA^2=a^2-x^2$ suy ra: $SA=\sqrt{a^2-x^2}$.
Do đó: $V=\dfrac{x^2\sqrt{a^2-x^2}}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì: $SA\perp(ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ và: $CM\perp BC$
nên mặt phẳng $(SCM)\perp BC$.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SCM}$.
Trong tam giác vuông $SCM$ tại $C$:
$\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC}$.
Mà: $SM^2=SA^2+CM^2 =SA^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$.
Từ điều kiện cực đại thể tích:
Xét: $f(x)=x^2\sqrt{a^2-x^2}$.
Ta có:
$f'(x)=0 \Rightarrow 2(a^2-x^2)-x^2=0$
$\Rightarrow 2a^2=3x^2$
$\Rightarrow x^2=\dfrac{2a^2}{3}$.
Suy ra: $SA^2=a^2-\dfrac{2a^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$.
Khi đó:
$SM^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2a^2}{3} =\dfrac{a^2}{2}$.
Do đó: $SM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC} =\dfrac{a/\sqrt2}{a} =\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}}$.
Ta có:
S B = a 2 + b 2 = a 2 A C 2 = a 2 + 3 a 2 = 4 a 2 ⇒ S C = a 2 + 4 a 2 = a 5 S K = S A 2 S B = a 2 a 2 = a 2 S H = S A 2 S C = a 2 a 5 = a 5 V S . A H K V S . A B C = S K . S H S B . S C = 1 2 . 1 5 = 1 10 ⇒ V S . A H K = 1 10 V S . A B C = 1 60 S A . B A . B C = 1 60 3 a 3
Đáp án cần chọn là C