Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a)^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \ne SC^2$.

Xét tam giác $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAC$:

$SA \perp AC \Rightarrow \triangle SAC$ vuông tại $A$.

Do đó $A$ cách đều $S,B,C$ nên $A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bán kính: $R = SA = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án B.

Đáp án C.

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) thì mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2 . Với giả thiết của bài toán, ta có r = a 6 2 .

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án A: Sai do HS nhớ đúng công thức tính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  nhưng lại biến đổi nhầm x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z .

Phương án B: Sai do HS có thể gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp (A trùng với O và B, C, S lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz) và nhầm rằng tâm của mặt cầu chính là trọng tâm G a 3 ; a 2 3 ; a 3 3  của tam giác ABC nên tính được r = O G = a 6 3 .

Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm công thức r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  thành r = S A 2 + A B 2 + A C 2 .

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt{2},0)$ (tam giác vuông tại $A$)

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a\sqrt{3}$ nên đặt:

$S(0,0,a\sqrt{3})$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp ⇒

$OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OA = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - a\sqrt{2})^2 + z^2 \Rightarrow y = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Từ $OA = OS$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - a\sqrt{3})^2 \Rightarrow z = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{2}$

Suy ra:

$R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a$ nên tâm ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC$ thỏa:

$OA=OB=OC=\dfrac{3a}{\sqrt3}=a\sqrt3$.

Vì $SC\perp(ABC)$ và $SC=2a$ nên điểm $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $C$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khi đó $I$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $O$.

Đặt:

$IC=x$.

Suy ra:

$IS=2a-x$.

Do $IA=IS$ nên:

$\sqrt{OA^2+x^2}=2a-x$.

Thay $OA=a\sqrt3$:

$\sqrt{3a^2+x^2}=2a-x$.

Bình phương hai vế:

$3a^2+x^2=4a^2-4ax+x^2$

$\Rightarrow 4ax=a^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a4$.

Vậy bán kính mặt cầu:

$R=IS=2a-\dfrac a4=\dfrac{7a}{4}$.

Do đó:

$\boxed{R=\dfrac{7a}{4}}$.

Đáp án C.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Từ $OA=OS$:

$(z)^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$.

Vậy:

$\boxed{R=a\sqrt2}$.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0)$

Vì $\widehat{ABC} = 120^\circ,\ BC = a$ nên:

$C\left(a\cos120^\circ,\ a\sin120^\circ,\ 0\right) = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ 0\right)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = 2a$ nên đặt:

$S(a,0,2a)$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Do $OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OB = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z^2$

Thay $x = \dfrac{a}{2}$ ⇒ $y = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$

Từ $OA = OS$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + (z-2a)^2$

$\Rightarrow z = a$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2\sqrt{3}},\ a\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + a^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12} + a^2 = \dfrac{4a^2}{3}$

Suy ra:

$R = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Đáp án C

Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

R d = A C 2 = 3 a ⇒ R = S A 2 4 + R 2 d = 5 a .  

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên $AC$ là cạnh huyền, $AC = 6a$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (8a)^2 + (6a)^2 = 64a^2 + 36a^2 = 100a^2 \Rightarrow SC = 10a$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2,\quad AB^2 + BC^2 = AC^2 = 36a^2$.

Suy ra: $SB^2 + BC^2 = SA^2 + AB^2 + BC^2 = 64a^2 + 36a^2 = 100a^2 = SC^2$.

Do đó $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{10a}{2} = 5a$.

Vậy $R = 5a$.

Chọn đáp án C.

Đáp án đúng : B

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và: $BC=3a$.

Suy ra:

$AB=AC=\dfrac{BC}{\sqrt2}=\dfrac{3a\sqrt2}{2}$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B\left(\dfrac{3a\sqrt2}{2},0,0\right),\ C\left(0,\dfrac{3a\sqrt2}{2},0\right)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(0,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do $OA=OB$ nên:

$x=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OC$ nên $y=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OS$ nên $z=a$.

Vậy: $O\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4},\dfrac{3a\sqrt2}{4},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA$

$=\sqrt{\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{9a^2}{8}+\dfrac{9a^2}{8}+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{13a^2}{4}}$

$=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.

Vậy: $\boxed{R=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}$.

Chọn A

Chọn đáp án C

Vậy hai điểm cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông. Điều đó chứng tỏ SC là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do đó bán kính

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(3,0,0),\ C(0,4,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=5$ nên:

$S(3,0,5)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-3)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac32$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-4)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=2$.

Từ $OA=OS$:

$z^2=(z-5)^2 \Rightarrow z=\dfrac52$.

Vậy:

$O\left(\dfrac32,2,\dfrac52\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+2^2+\left(\dfrac52\right)^2}$

$=\sqrt{\dfrac94+4+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$.

Vậy:

$\boxed{R=\dfrac{5\sqrt2}{2}}$.