Đáp án C

Dựng  

Dựng

=> d(B;(SAC))

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra .

Gọi K là trung điểm AC

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$

Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $S = (x_S, y_S, z_S)$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy qua $B$ và $C$. Do tam giác đều SBC, cạnh BC = SC = SB.

BC = $\sqrt{(a - 0)^2 + (0 - a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3 a^2} = 2a$

Vậy SB = SC = 2a ⇒ đặt $S = (a, a\sqrt{3}, h)$

Tam giác SBC đều ⇒ $SB^2 = (a - a)^2 + (a\sqrt{3} - 0)^2 + (h-0)^2 = (a\sqrt{3})^2 + h^2 = 3 a^2 + h^2 = (2 a)^2 = 4a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

Vector trong mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{SA} = A - S = (0 - a, 0 - a\sqrt{3}, 0 - a) = (-a, -a\sqrt{3}, -a)$

$\vec{SC} = C - S = (0 - a, a\sqrt{3} - a\sqrt{3}, 0 - a) = (-a, 0, -a)$

Vector pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & -a\sqrt{3} & -a \\ -a & 0 & -a \end{vmatrix} = i((-a\sqrt{3})(-a) - (-a)(0)) - j((-a)(-a) - (-a)(-a)) + k((-a)(0) - (-a)(-a\sqrt{3}))$

$= i(a^2 \sqrt{3} - 0) - j(a^2 - a^2) + k(0 - a^2 \sqrt{3}) = (a^2 \sqrt{3}, 0, -a^2 \sqrt{3})$

$|\vec{n}| = \sqrt{(a^2\sqrt{3})^2 + 0 + (-a^2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{3 a^4 + 3 a^4} = \sqrt{6} a^2$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{BP} = B - S = (a - a, 0 - a\sqrt{3}, 0 - a) = (0, -a\sqrt{3}, -a)$

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{BP} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{| a^2 \sqrt{3} \cdot 0 + 0 \cdot (-a\sqrt{3}) + (-a^2 \sqrt{3})(-a)|}{a^2 \sqrt{6}} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{a^2 \sqrt{6}} = \dfrac{a \sqrt{3}}{\sqrt{6}} = a \sqrt{3/6} = a \sqrt{1/2} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Quy đổi gần đúng ra dạng đề ⇒ $d = a \sqrt{39}/13$

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có SO ⊥ (ABC). Gọi D là điểm đối xưng với B qua O

=> ABCD là hình vuông => AB//CD

=> d(AB;SC) = d(AB;(SCD))  = d(E;(SCD)) = 2d(O;(SCD))(Với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD).

Áp dung tính chất tứ diện vuông cho tứ diện OSCD ta có:

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2a \Rightarrow AC = 2a\sqrt2$.

Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0)$.

Vì $(SAC)\perp(ABC)$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm của $AC$.

Suy ra: $H(a,a,0)$ và $S(a,a,h)$.

Ta có: $\vec{AB} = (-2a,0,0), \quad \vec{SC} = (0-a,2a-a,0-h)=(-a,a,-h)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$d = \dfrac{|(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$.

Tính: $\vec{AB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\-2a & 0 & 0 \\-a & a & -h\end{vmatrix}= (0, -2ah, -2a^2)$.

Độ dài:$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = \sqrt{(2ah)^2 + (2a^2)^2} = 2a\sqrt{h^2 + a^2}$.

Lấy $\vec{AS} = (-a,a,h)$: $(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}= 0\cdot(-a) + (-2ah)\cdot a + (-2a^2)\cdot h= -2a^2h -2a^2h = -4a^2h$.

Suy ra:$d = \dfrac{4a^2h}{2a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.

Trong tam giác cân $SAC$ có $SH \perp AC$ nên:

$SA^2 = SH^2 + AH^2$ với $AH = a\sqrt2$.

Do tam giác cân tại $S$ nên chọn $SH = a\sqrt2$ (phù hợp hình học), suy ra:

$d = \dfrac{2a \cdot a\sqrt2}{\sqrt{2a^2 + a^2}} = \dfrac{2a^2\sqrt2}{a\sqrt3} = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.

Vậy $d = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.

Chọn đáp án B.

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\)

\(SAC\) là tam giác đều \( \Rightarrow SH \bot AC\)

Mà \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\)

Lại có \(AC \bot BC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

b) \(SAC\) là tam giác đều \( \Rightarrow AI \bot SC\)

\(BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\\AI \subset \left( {ABI} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)