Ta có A K ⊥ S C A K ⊥ α A K ⊥ B C B C ⊥ S A B  

Suy ra A K ⊥ S B C ⇒ A K ⊥ S B .

Vì ∆ S A B  vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB. Ta có

V S . A H K V S . A B C = S A . S K . S H S A . S B . S C = S H 2 S C  

Ta có

A V = A B 2 + B C 2 = 2 a S V = A C 2 + S A 2 = a 5 . 

Khi đó S H S C = S H . S C S C 2 = S A 2 S C 2 = 1 5  

Suy ra V S . A H K V S . A B C = S H 2 S C = 1 10  

Mặt khác V S . A B C = 1 3 S A . 1 2 A B . B C = a 3 3 6  Vậy  V S . A H K = a 3 3 60

Đáp án C

Đáp án C

Đáp án C

A C = A B 2 + B C 2 = a 2 + 3 a 2 = 2 a

S C = S A 2 + A C 2 = a 2 + 4 a 2 = a 5

S H = S A 2 S C = a 2 a 5 = a 5

S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2

Δ S H K ~ Δ S B C ⇒ S H S B = S K S C ⇒ S K = S H . S C S B = a . a 5 5 . a 2 = a 2

⇒ V S . A H K V S . A B C = S H S C S K S B = a 5 a 5 a 2 a 2 = 1 10 ⇒ V S . A H K = 1 10 V S . A B C = 1 3 S A . d t A B C = 1 10 . 1 3 a . 1 2 a . a 3 = a 3 3 60

Đáp án D

Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đi qua các đỉnh của khối chóp bằng phương pháp dựng hình, từ đó dựa vào tính toán xác định bán kính – thể tích mặt cầu.

Lời giải:

Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên giao tuyến là $BC$ và:

$SA = SB = a \Rightarrow S$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$

Đặt hệ tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$)

Vì $SA = SB = a$ ⇒ $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ ⇒ $x = \dfrac{a}{2}$

Đặt: $S\left(\dfrac{a}{2},\ y,\ z\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ ⇒ pháp tuyến $(SBC)$ vuông góc $(0,0,1)$

⇒ $\vec{SB} \times \vec{SC}$ không có thành phần $z$

Sau khi tính toán suy ra:

$y = \dfrac{a}{2}$

Từ $SA = a$:

$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2$

$\Rightarrow z^2 = \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow z = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Suy ra:

$S\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do tính đối xứng:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ t\right)$

Vì $R = a$ nên:

$OA^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + t^2 = a^2$

$\Rightarrow t^2 = \dfrac{a^2}{2}$

Lại có:

$OS^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} - t\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$

⇒ suy ra $t = 0$

Vậy tâm:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ 0\right)$

Tính $SC$:

$\vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ -\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

$SC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{2} = a^2$

Suy ra:

$\boxed{SC = a}$

Chọn C.

Đáp án D.

Đáp án A