Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên

Chọn C.

Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Theo giả thiết: $d=3$.

Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:

$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.

Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Mặt khác: $SA\perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SMA}$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.

Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.

Thể tích:

$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.

Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:

$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.

Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.

Thế vào biểu thức thể tích:

$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$

$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.

Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.

Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.

Xét: $f(t)=t-t^3$.

$f'(t)=1-3t^2$.

$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.

Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

B C = A B . tan 30 0 = a 3 3 ⇒ A C = a 2 3 + a 2 = 2 3 3 a V = 1 3 . S A . 1 2 . A B . B C = 1 3 . S A . 1 2 . a . a 3 3 = a 3 3 36 ⇒ S A = a 2 S B = a 2 4 + a 2 = a 5 2 V = 1 3 . d ( A ; S B C ) . 1 2 . S B . B C = 1 3 . d . 1 2 . a 5 2 . a 3 3 = a 3 3 36 ⇒ d = a 5 5

Đáp án A

Trong mặt phẳng (ABC)  Kẻ A M ⊥ B C

Trong mặt phẳng  (SAM) kẻ A H ⊥ S M

⇒ d A ; S B C = A H

Ta có A M = A B . cos B A M ^ = A B . cos 60 0 = a 2

Diện tích tam giác ABC là S A B C = 1 2 A B . A C . sin 120 0 = 1 2 a 2 3 2 = a 2 3 4  Ta có

V S . A B C = 1 3 . S A . S A B C = 1 3 . S A . a 3 3 24 = a 3 3 24 ⇒ S A = a 2

Tam giác SAM vuông tại A có AH là đường cao

⇒ 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A M 2 ⇒ A H = a 2 4

Ta có A I ⊥ B C , S A ⊥ B C  

Suy ra  V = a 3 , S ∆ A B C = a 2 3 4 ⇒ S A = 4 a 3

Mà   A I = a 3 2

Trong tam giác vuông ∆ S A I  ta có 1 A K 2 = 1 A S 2 + 1 A I 2 Vậy d = A K = A S 2 . A I 2 A S 2 + A I 2 = 4 a 195 65

Đáp án C

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

a+b>c =>c-a<b =>c²-2ac+a²<b²

a+c>b =>b-c <a =>b²-2bc+c²<a²

b+c>a =>a-b<c =>a²-2ab+b²<c²

Suy ra: c²-2ac+a²+b²-2bc+c²+a²-2ab+b²<a²+b²+c²

<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a²+b²+c²)<a²+b²+c²

<=>-2(ab+bc+ca)<-(a²+b²+c²)

<=>2.(ab+bc+ca)<a²+b²+c²

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC ta có:  A H ⊥ B C     Do  A B C ⊥ S B C ⇒ A H ⊥ S B C

Đặt  A H = x ⇒ H C = a 2 − x 2 = H B = S H ⇒ Δ S B C

 vuông tại S (do đường trùng tuyến bằng  cạnh đối diện). Suy ra B C = S B 2 + S C 2 = a 3 .  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ A B C ⇒ O ∈ A H ⇒ O A = O B = O C = OS   .Ta có:  R = R A B C = A C 2 sin B ,    trong đó   sin B = A H A B = A   S 2 − S H 2 A B = 1 2 Do đó  R C = a ⇒ S x q = 4 π R 2 C = 4 π a 2 .

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB = AC = a$

nên:

$A\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac a2,0\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB = a,\ SC = a\sqrt2$

nên:

$\begin{cases} x^2+z^2=a^2 \ (x-a\sqrt3)^2+z^2=2a^2 \end{cases}$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:

$3a^2-2a\sqrt3,x=a^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a{\sqrt3}$

Suy ra:

$z^2=a^2-\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2a^2}{3}$

$\Rightarrow z=a\sqrt{\dfrac23}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta tính bán kính:

Do đối xứng suy ra:

$O\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac a2,0\right)$

Khi đó:

$\begin{aligned} R^2&=OB^2\ &=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2\ &=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=a^2 \end{aligned}$

$\Rightarrow R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi a^2$

Chọn D

Chọn B.