a) SG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên SG ⊥ (ABC). Ta có

Vậy khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC) là độ dài của đoạn SG = a

Ta có CG ⊥ AB tại H. Vì GH là đoạn vuông góc chung của AB và SG, do đó 

mà  

nên 

Chọn đáp án B

Gọi là H hình chiếu của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC). Khi đó, ta có

Ta có

Tương tự, ta cũng chứng minh được

Từ đó suy ra 

Do SH ⊥ AB, BH ⊥ AB nên suy ra góc giữa (SAB) và (ABC) là góc SBH. Vậy SBH =  60 0

Trong tam giác vuông ABH, ta có

Trong tam giác vuông SHB, ta có

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C 

=> SH  ⊥ (ABC)

Xác đinh được 

Ta có MH // SA

Gọi I là trung điểm của AB => HI ⊥ AB

và chứng minh được HK  ⊥ (SAB)

Trong tam giác vuông SHI tính được 

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm SC.

Ta có:  

SH = SC => HK  là trung trực SC. Qua O kẻ trục d//SH => d ⊥ (ABC)

Gọi

=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Ta có

Xét ∆ HIG vuông tại G: 

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp:

$OA = OB = OC = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác:

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\left(\dfrac{a}{\sqrt3}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{3} - \dfrac{a^2}{4}}= \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12}= \dfrac{10a^2}{12}= \dfrac{5a^2}{6}$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{5}{6}}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{5}{6}}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{5}{6}}\right)^3= \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{\frac{3}{2}}= \dfrac{5\sqrt{30}\pi a^3}{216}$.

Vậy $V = \dfrac{5\sqrt{30}\pi a^3}{216}$.

Chọn đáp án B.

Đáp án A

SM =  M B tan   60 0   =  3 6

IG = x  ⇒ JM = IG  ⇒ SI =  1 12 + ( 3 6 + x ) 2 , IA =  1 3 + x 2

SI = IA  ⇒ x 2   + 1 4 = ( x 2   +   3 3 x   +   1 2 )  ⇒ x   =   1 2 3   ⇒ R = 5 12

V =  4 3 πR 3   =  5 15 π 54

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên:

$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$, $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB\cos120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên:

$1 = 2SA^2 - 2SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)= 2SA^2 + SA^2 = 3SA^2\Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM^2 = SA^2 - AM^2= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{12}\Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}= \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Suy ra:$SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3= \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp: $OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên áp dụng định lý cosin: $AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 SA \cdot SB \cos 120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên: $1 = 2 SA^2 - 2 SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3 SA^2 \Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$: $SM^2 = SA^2 - AM^2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3 = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$.

Vậy $V = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$. Chọn đáp án A.