Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a)^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \ne SC^2$.

Xét tam giác $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAC$:

$SA \perp AC \Rightarrow \triangle SAC$ vuông tại $A$.

Do đó $A$ cách đều $S,B,C$ nên $A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bán kính: $R = SA = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án B.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.

Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,

$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.

Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án D.

Đáp án C.

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) thì mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2 . Với giả thiết của bài toán, ta có r = a 6 2 .

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án A: Sai do HS nhớ đúng công thức tính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  nhưng lại biến đổi nhầm x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z .

Phương án B: Sai do HS có thể gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp (A trùng với O và B, C, S lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz) và nhầm rằng tâm của mặt cầu chính là trọng tâm G a 3 ; a 2 3 ; a 3 3  của tam giác ABC nên tính được r = O G = a 6 3 .

Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm công thức r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  thành r = S A 2 + A B 2 + A C 2 .

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt{2},0)$ (tam giác vuông tại $A$)

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a\sqrt{3}$ nên đặt:

$S(0,0,a\sqrt{3})$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp ⇒

$OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OA = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - a\sqrt{2})^2 + z^2 \Rightarrow y = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Từ $OA = OS$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - a\sqrt{3})^2 \Rightarrow z = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{2}$

Suy ra:

$R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Đáp án đúng : B

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và: $BC=3a$.

Suy ra:

$AB=AC=\dfrac{BC}{\sqrt2}=\dfrac{3a\sqrt2}{2}$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B\left(\dfrac{3a\sqrt2}{2},0,0\right),\ C\left(0,\dfrac{3a\sqrt2}{2},0\right)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(0,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do $OA=OB$ nên:

$x=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OC$ nên $y=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OS$ nên $z=a$.

Vậy: $O\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4},\dfrac{3a\sqrt2}{4},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA$

$=\sqrt{\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{9a^2}{8}+\dfrac{9a^2}{8}+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{13a^2}{4}}$

$=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.

Vậy: $\boxed{R=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}$.

Đáp án là D

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và:

$AB=BC=a$.

Suy ra:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt2$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(a,0,0),\ B(0,0,0),\ C(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-a)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac a2$.

Từ $OA=OS$:

$(z)^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac a2,a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}+a^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{2}}=\dfrac{a\sqrt6}{2}$.

Vậy:

$\boxed{R=\dfrac{a\sqrt6}{2}}$.

Chọn đáp án D.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.

Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.

Chọn đáp án C.

Đáp án A

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và:

$AB=a\sqrt2$ nên: $AC=a\sqrt2,\ BC=2a$

Do $SA=SB=SC$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Với tam giác vuông tại $A$, tâm ngoại tiếp là trung điểm của $BC$. Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Khi đó: $OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}=a$

Gọi $SO=h$.

Vì góc giữa $SA$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\widehat{SAO}=60^\circ$

Trong tam giác vuông $SAO$:

$\cos60^\circ=\dfrac{AO}{SA}=\dfrac{a}{SA}$

$\Rightarrow SA=2a$

Lại có:

$SA^2=SO^2+AO^2$

$\Rightarrow (2a)^2=h^2+a^2$

$\Rightarrow h^2=3a^2$

$\Rightarrow SO=a\sqrt3$

Tâm mặt cầu ngoại tiếp chính là điểm $S$ cách đều $A,B,C$ và bán kính mặt cầu là:

$R=SA=2a$

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Ta có:

∆ A B C  vuông cân tại B ⇒  O là tâm đường tròn ngoại tiếp và A C = A B 2 = a 2 .

∆ S A C  vuông tại A, I là trung điểm của S C ⇒ I S = I C = I A 2  

Từ (1), (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính

Chọn: A

Ta có S A ⊥ A B C A C ⊂ A B C

⇒ S A ⊥ A C

S A ⊥ A B C A B ⊥ B C

⇒ S B ⊥ B C . Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền SC.

Bán kính: R = SI = S C 2

S A 2 + A C 2 2 = a 2 + a 2 + a 2 2 = a 3 2

Đáp án D

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a,\ \widehat{ABC} = 90^\circ$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$ nên tam giác $SAB$ vuông tại $A$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt{2}$

Xét tứ diện $S.ABC$:

Ta có các cạnh xuất phát từ $B$:

$BA = BC = a,\ BS = a\sqrt{2}$

và:

$BA \perp BC,\ BA \perp BS,\ BC \perp BS$

⇒ Đây là tứ diện vuông tại $B$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông:

$R = \dfrac{1}{2}\sqrt{BA^2 + BC^2 + BS^2}$

Thay vào:

$R = \dfrac{1}{2}\sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{4a^2} = a$