a: Xét tứ giác AEMD có

góc AEM=góc ADM=góc DAE=90 độ

nên AEMD là hình chữ nhật

b: Vì M đối xứng với N qua AB

nên ABvuông góc với MN tại E và E là trung điểm của MN

Xét tứ giác AMBN có

E là trung điểm chung của AB và MN

nên AMBN là hình bình hành

mà MA=MB

nên AMBN là hình thoi

c: Xét tứ giác ANMC có

NM//AC

NM=AC

Do đó: ANMC là hình bình hành

=>AM cắt CN tại trung điểm của mỗi đường

=>C,O,N thẳng hàg

ê kẻ đc hình chưa

a: Sửa đề: CD=2AB=2AD

Ta có: \(AB=AD=\frac{CD}{2}\)

\(DM=MC=\frac{DC}{2}\)

Do đó: AB=AD=DM=MC

Xét tứ giác ABMD có

AB//MD

AB=MD

Do đó: ABMD là hình bình hành

Hình bình hành ABMD có AB=AD và \(\hat{BAD}=90^0\)

nên ABMD là hình vuông

b: Ta có: MN⊥HC

DH⊥HC

Do đó: MN//DH

Xét ΔHDC có

M là trung điểm của CD
MN//DH

Do đó: N là trung điểm của CH

Xét ΔHDC có

M,N lần lượt là trung điểm của CD,CH

=>MN là đường trung bình của ΔHDC

=>MN//DH và \(MN=\frac{DH}{2}=DP=PH\)

Xét tứ giác MNPD có

MN//PD

MN=PD

Do đó: MNPD là hình bình hành

c: Xét ΔHDC có

P,N lần lượt là trung điểm của HD,HC

=>PN là đường trung bình của ΔHDC

=>PN//DC

mà DC⊥ AD

nên PN⊥AD

Xét ΔADN có

NP,DH là các đường cao

NP cắt DH tại P

Do đó: P là trực tâm của ΔADN

=>AP⊥DN

a) Xét tứ giác AMIN, ta có:

\(\widehat{A}\) = 90^o (△ABC vuông tại A)

\(\widehat{M}\) = 90^o (IM ⊥ AB tại M)

\(\widehat{N}\) = 90^o (IN ⊥ AC tại N)

Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật.

b) *Xét △AIC, ta có:

IA = IC (AI là đường trung tuyến của △vABC)

⇒ △AIC cân tại A

Mà IN ⊥ AC (gt)

Nên IN là đường cao của △AIC

⇒ Đồng thời là đường trung tuyến

⇒ AN = NC

*Xét tứ giác ADCI, ta có:

IN = ND (gt)

AN = NC (cmt)

⇒ ADCI là hình bình hành

Mà AI = IC (cmt)

Vậy ADCI là hình thoi.

c) Gọi O là giao điểm BN và AI

Vì ADCI là hthoi (cmt)

⇒ AI // CD

⇒ \(\widehat{AIN}\) = \(\widehat{CDN}\) (so le trong)

*Cm: △INP = △DNK (g.c.g)

⇒ IP = DK

*Vì ADCI là hthoi (cmt)

⇒ AI = DC

*Ta có:

AN = NC (cmt)

⇒ BN là đường trung tuyến

*Xét △ABC, ta có:

AI, BN là đường trung tuyến (gt,cmt)

Mà AI, BN cắt nhau tại B (theo cách vẽ)

Nên P là trọng tâm của △ABC

⇒ \(\dfrac{IP}{AI}\)= \(\dfrac{1}{3}\)

Hay \(\dfrac{DK}{DC}\)= \(\dfrac{1}{3}\)