a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(DF=FC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác DEBF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: DEBF là hình bình hành

=>DE//BF

=>EM//FN

Xét ΔANB có

E là trung điểm của AB

EM//NB

Do đó: M là trung điểm của AN

=>AM=MN(1)

Xét ΔDMC có

F là trung điêm của DC

FN//DM

Do đó: N là trung điểm của CM

=>CN=NM(2)

Từ (1),(2) suy ra AM=CN

Xét ΔAEM và ΔCFN có

AE=CF

\(\hat{EAM}=\hat{FCN}\) (hai góc so le trong, AE//CF)

AM=CN

Do đó: ΔAEM=ΔCFN

=>EM=FN

Xét tứ giác EMFN có

EM//FN

EM=FN

Do đó: EMFN là hình bình hành

A D F M E B C N

a) Tứ giác AEFD là hình thoi, tứ giác AECF là hình bình hành (tự chứng minh).

b) Tứ giác AECF là hình bình hành nên EN // FM. Tứ giác AECF là hình bình hành nên EM // FN. AEFD là hình thoi nên AF \(\perp\) DE.

Hình bình hành EMFN có \(\widehat{M}=90^o\) nên là hình chữ nhật.

c) Hình chữ nhật EMFN là hình vuông

\(\Leftrightarrow\) ME = MF \(\Leftrightarrow\) DE = AF (vì DE = 2ME, AF = 2MF)

\(\Leftrightarrow\) Hình thoi AEFD có hai đường chéo bằng nhau

\(\Leftrightarrow\) AEFD là hình vuông \(\Leftrightarrow\) \(\widehat{A}=90^o\).

\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Như vậy, hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật.

Bạn kham khảo nha

a: Xét tứ giác AEFD có

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFD là hình bình hành

mà AE=AD

nên AEFD là hình thoi

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: Xét tứ giác BEFC có

BE//FC

BE=FC

Do đó: BEFC là hình bình hành

mà BE=BC

nên BEFC là hình thoi

=>EC\(\perp\)BF tại N

Ta có: AEFD là hình thoi

nên AF\(\perp\)ED tại M

Xét ΔEDC có

EF là đường trung tuyến

EF=DC/2

Do đó:ΔEDC vuông tại E

Xét tứ giác EMFN có 

\(\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=\widehat{NEM}=90^0\)

Do đó: EMFN là hình chữ nhật

c: Để EMFN là hình vuông thì ME=MF

=>AF=DE

Hình thoi AEFD có AF=DE

nên AEFD là hình vuông

=>\(\widehat{BAD}=90^0\)

a) bạn tự vẽ hình nhé!

Có : \(AE=BE=\frac{1}{2}AB\) (đề cho)

\(DF=CF=\frac{1}{2}DC\) (đề cho)

mà \(AB=CD\)

\(\Rightarrow\) \(AE=BE=DF=CF\)

Xét tứ giác AEFD có:

\(AE=DF\) (cmt) và AE//DF( AB//CD)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có :

AE = CF ( cmt) và AE//CF ( AB//CD)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AECF là hình bình hành

M là giao điểm của AF và DE

\(\Rightarrow\) AM = FM=\(\frac{1}{2}AF\) ( tính chất đ/chéo hbhành) (1)

N là giao điểm của BF và CE

\(\Rightarrow\) EN = CN=\(\frac{1}{2}CE\) ( tính chất đ/chéo hbhành) (2)

Có AF = AM + FM

CE = EN + CN

mà AE = CE ( AECF là hbh)

Từ (1) và (2) suy ra MF= EN và MF//EN ( AF//CE )

\(\Rightarrow\) EMFN là hình bình hành (3)

Có AE = AD ( cùng bằng 2AB ) và AEFD là hình bình hành nên AEFD là hình thoi

\(\Rightarrow\) AF \(\perp\) DE tại M hay góc EMF = 90 độ (4)

Từ (3) và (4) suy ra : EMFN là hcn