Ta có ABCD là hình bình hành ⇒ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O.

Xét tam giác ACD, vì M thuộc AB, P thuộc CD và \(M P \parallel A C\) nên theo định lý Ta-lét, đường thẳng MP đi qua trung điểm của AC ⇒ \(O \in M P\).

Tương tự, trong tam giác ABC, vì N thuộc BC, Q thuộc AD và \(N Q \parallel A C\) nên NQ cũng đi qua trung điểm của AC ⇒ \(O \in N Q\).

Vậy: O là giao điểm chung của các đường AC, BD, MP, NQ ⇒ bốn đường thẳng AC, BD, MP và NQ đồng quy tại O.

Sửa đề: AM=CP

Xét tứ giác AMCP có

AM//CP

AM=CP

Do đó: AMCP là hình bình hành

=>AC cắt MP tại trung điểm của mỗi đường(3)

Xét tứ giác AQCN có

AQ//CN

AQ=CN

Do đó: AQCN là hình bình hành

=>AC cắt QN tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,BD,QN,MP đồng quy

a) ABCD là hình thang nên AB//CD

CD=2AB ==>AB/CD=1/2

AB//CD, áp dụng định lý Ta-let, ta có

OA/OC=OB/OD=AB/CD=1/2

=>OA/OC=1/2 => OC=2OA

B) Ta có : OA/OC=OB/OD=AB/CD=1/2

==> OD/OB = 2 ==>OD = 2OB

*xét: OC/AC = 2OA/(OA + OC) = 2OA/(OA + 2OA) = 2OA/3OA = 2/3(1);

OD/BD = 2OB/(OD + OB) = 2OB/(2OB + OB) = 2/3(2)
*từ (1),(2) =>OC/AC = OD/BD = 2/3
=>O là trọng tâm tam giác FCD

c)

Vì một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD,AC và BC tại M, I,K và N nên KN//AB ,IM//AB và IN//AB

MI//AB, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có

MI/AB = DM/AD = DI/IB (1)

IN//AB, áp dụng định lý Ta-let, ta có

CN/BC=DI/IB (2)

Từ (1) và (2), ta có

DM/AD=CN/BC

d)

KN//AB, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có

KN/AB=CN/BC

Ta có :KN/AB=CN/BC và MI/AB=DM/AD

mà DM/AD=CN/BC nên KN/AB=MI/AB => KN=MI

a) Xét ΔOIC và ΔABC có:

   \(\widehat{ACB}\) : góc chung

   \(\widehat{OIC}=\widehat{ABC}\) (đồng vị do JI//AB(gt))

 => ΔOIC~ΔABC(g.g)

=>\(\frac{OI}{AB}=\frac{CI}{BC}\)

=> BC.OI=AB.CI

b) Theo định lý đảo của định lý ta-let vào ΔBDC :

=>  \(\frac{OI}{DC}=\frac{BI}{BC}\)

c. -Xét △ADC có: OM//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{MO}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{MO}=\dfrac{AC}{AO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{OC}{AO}\) (1).

-Xét △BDC có: ON//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{BD}{BO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{OD}{BO}\)

-Xét △ABO có: AB//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{OD}{BO}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{DC}{AB}\) (3)

-Từ (1), (2),(3) suy ra:

\(\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}=\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{DC}{AB}+1=\dfrac{AB+DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM}=\dfrac{1}{ON}=\dfrac{AB+DC}{AB.DC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}\)

a: Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔAOB∼ΔCOD

Suy ra: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}\)

hay \(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)

b: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\)

\(\Leftrightarrow OA=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\)

* Hướng dẫn câu b:

Gọi I là giao điểm của Gx và PQ. Kéo dài PQ cắt hai cạnh AD và BC theo thứ tự là E và F.

Góc MPQ = góc GEF (so le trong do MP // AD)

Góc MQP = góc GFE (so le trong do MQ // BC)

góc MPQ = góc MQP (tam giác MPQ cân do MP = MQ)

=> góc GEF = góc GEF -> tam giác GEF cân tại G

mà GI là phân giác của góc G -> GI vuông góc với EF

-> Gx vuông góc với PQ -> Gx // MN (MN vuông góc với PQ do hình thoi có 2 đường chéo vuông góc).

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lược cho 1, 2, 3, …

Ví dụ :

B(5) = {5.1, 4.2, 5.3, …} = {5, 10, 15, …}

Ta có thể tìm các ước của một số a (a > 1) bằng cách lần lược chia số a cho số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.

Sửa đề: Cho hình thang ABCD có AB//CD
a: Xét ΔADC có OM//DC

nên \(\frac{AM}{AD}=\frac{AO}{AC}\left(1\right)\)

Xét ΔBAC có ON//AB

nên \(\frac{OC}{OA}=\frac{CN}{NB}\)

=>\(\frac{AO}{OC}=\frac{BN}{NC}\)

=>\(\frac{AO}{OC+OA}=\frac{BN}{BN+NC}\)

=>\(\frac{AO}{AC}=\frac{BN}{BC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BC}\)

b: Xét tứ giác DMOE có

MO//DE

OE//MD

Do đó: DMOE là hình bình hành

=>DM=OE; DE=OM

Xét ΔADC có MO//DC
nên \(\frac{MO}{DC}=\frac{AM}{AD}\)

c: Xét ΔBDC có ON//DC

nên \(\frac{ON}{DC}=\frac{BN}{BC}\)

mà \(\frac{MO}{DC}=\frac{AM}{AD}\)

và \(\frac{BN}{BC}=\frac{AM}{AD}\)

nên OM=ON(1)

Xét tứ giác FCNO có

FC//NO

FO//NC

Do đó: FCNO là hình bình hành

=>FC=ON(2)

Từ (1),(2) suy ra FC=OM

mà OM=DE

nên FC=DE

d: Xét ΔDAB có OM//AB

nên \(\frac{OM}{AB}=\frac{DM}{DA}\)

Xét ΔADC có OM//DC
nên \(\frac{OM}{DC}=\frac{AM}{AD}\)

\(\frac{OM}{AB}+\frac{OM}{DC}=\frac{DM}{DA}+\frac{AM}{AD}=1\)

=>\(OM\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{DC}\right)=1\)

=>\(\frac{1}{AB}+\frac{1}{DC}=\frac{1}{OM}=\frac{2}{MN}\)