Hình tự kẻ bạn nhé.

a)Xét \(\Delta CHE\)và \(\Delta CDF\),có :

\(\hept{\begin{cases}\widehat{CHE}=\widehat{CDF}\left(=90^0\right)\\\widehat{DCF}:chung\end{cases}}\)\(\Rightarrow\Delta CHE~\Delta CDF\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CH}{CD}=\frac{CE}{CF}\)

\(\Rightarrow CH.CF=CD.CE\)

A B C D F E P

a)Xét \(\Delta APD\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\widehat{ADP}=\widehat{ABE}=90^o\)

AD = AB ( hvABCD)

\(\widehat{PAD}=\widehat{EAB}\) (cùng phụ \(\widehat{DAE}\))

=> \(\Delta APD\) = \(\Delta AEB\)  (gcg)

=>AP=AE

mà \(\widehat{PAE}=90^o\left(gt\right)\)

=>\(\Delta APE\) vuông cân tại A

b) Xét \(\Delta APF\) vuông tại A có:

\(\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

mà AP=AE ; AD=AB

=>\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}\)

1) Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(gt)

nên O là giao điểm ba đường trung trực của ΔABC

hay AO là đường trung trực của BC

⇒AO⊥BC

Ta có: AO⊥BC(cmt)

AO⊥AE(AE là tiếp tuyến có A là tiếp điểm của (O))

Do đó: AE//BC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

2) Xét ΔADE và ΔCDB có 

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDB}\)(hai góc đối đỉnh)

DA=DC(D là trung điểm của AC)

\(\widehat{DAE}=\widehat{DCB}\)(hai góc so le trong, AE//BC)

Do đó: ΔADE=ΔCDB(c-g-c)

⇒AE=CB(hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác ABCE có 

AE//CB(cmt)

AE=CB(cmt)

Do đó: ABCE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

a, Ta có ∆ABE = ∆ADF(g.c.g) => AE = AF

b, Ta có: ∆AKF ~ ∆CAF ( F ^ chung và  F A K ^ = F C A ^ = 45 0 )

=> A F H F = C F A F =>  A F 2 = K F . C F

c, S A E F = 93 2 c m 2

d, Ta có: AE.AJ=AF.AJ=AD.FJ

=>  A E . A J F J = AD không đổi

Ta có: \(\hat{JAD}+\hat{DAY}=\hat{JAY}=90^0\)

\(\hat{DAY}+\hat{YAB}=\hat{DAB}=90^0\)

Do đó: \(\hat{JAD}=\hat{YAB}\)

Xét ΔJAD vuông tại D và ΔYAB vuông tại B có

AD=AB

\(\hat{JAD}=\hat{YAB}\)

Do đó: ΔJAD=ΔYAB

b: ΔJAD=ΔYAB

=>DJ=BY và AJ=AY

Xét ΔAJK vuông tại A có AD là đường cao

nên \(JA^2=JD\cdot JK\)

=>\(AY^2=BY\cdot JK\)

c: Xét ΔAJK vuông tại A có AD là đường cao

nên \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AJ^2}+\frac{1}{AK^2}\)

=>\(\frac{1}{AY^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)