Tọa độ B là:

x-2y+1=0và x-7y+14=0

=>x=7 và y=3

AB: x-2y+1=0

=>BC: 2x+y+c=0

Thay x=7 và y=3 vào BC, ta được:

c+2*7+3=0

=>c=-17

=>2x+y-17=0

A thuộc AB nên A(2a+1;a); C thuộc BC nen C(c;17-2c)(a<>3; c<>7)

Gọi I là giao của AC và BD

Tọa độ I là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2a+1+c}{2}\\y=\dfrac{a+17-2c}{2}\end{matrix}\right.\)

I thuộc BD nên 3c-a=18

=>a=3c-18

=>A(6c-35; 3c-18)

vecto MA=(6c-37; 3c-19)

vecto MC=(c-2;16-2c)

M,A,C thẳng hàng nên (6c-37)/(c-2)=(3c-19)/16-2c

=>c=7(loại) hoặc c=6(nhận)

=>A(1;0); C(6;5); B(7;3); D(0;2)

AB đi qua E và vuông góc BC nên nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(1\left(x+1\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-y+2=0\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-3;-1\right)\)

Đường thẳng d qua M và song song AB có pt:

\(1\left(x+1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

Gọi N là giao điểm d và BC \(\Rightarrow N\) là trung điểm BC

Tọa độ N là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(2;2\right)\Rightarrow C\left(7;5\right)\)

Đường thẳng AD qua M và song song BC có pt:

\(1\left(x+1\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y+2=0\)

A là giao điểm AB và AD nên tọa độ là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-2;0\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow\) tọa độ D

A là giao điểm AB và AD nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x-2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-1;-3\right)\)

Do I thuộc \(y^2=x\) nên tọa độ có dạng: \(I\left(a^2;a\right)\)

I là tâm hình thoi \(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=d\left(I;AD\right)\Rightarrow\dfrac{\left|2a^2-a-1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|a^2-2a-5\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2a^2-a-1=a^2-2a-5\\2a^2-a-1=-a^2+2a+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+a+4=0\left(vn\right)\\3a^2-3a-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\\a=2\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a=-1\Rightarrow I\left(1;-1\right)\)

Do I là trung điểm AC nên tọa độ C: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=3\\y_C=2y_I-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(3;1\right)\)

Đường thẳng BC song song AD và đi qua C nên có pt:

\(1\left(x-3\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y-1=0\)

B là giao điểm AB và BC nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x-2y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B...\)

Tương tự, đường thẳng CD song song AB và đi qua C nên có pt:

\(2\left(x-3\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow...\Rightarrow D\)

Tương tự với trường hợp \(a=2\Rightarrow I\left(4;2\right)\)

BC: 2x-3y-5=0

=>vecto pháp tuyến của BC là: \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(2;-3\right)\)

AB: x+y+1=0

=>vecto pháp tuyến của AB là: \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;1\right)\)

Gọi vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(a;b\right)\)

\(\cos(AB, BC) = \frac{\vert{}\vec{n}_{AB} \cdot \vec{n}_{BC}\vert{}}{\vert{}\vec{n}_{AB}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_{BC}\vert{}} = \frac{\vert{}1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3)\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{\vert{}-1\vert{}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>cos(AB;BC)=cos(AC;CB)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

=>\(2(2a - 3b)^2 = a^2 + b^2\)

=>\(2(4a^2-12ab+9b^2)=a^2+b^2\)

=>\(8a^2-24ab+18b^2=a^2+b^2\)

=>\(7a^2-24ab+17b^2=0\)

=>(a-b)(7a-17b)=0

TH1: a-b=0

=>a=b

Chọn a=1

=>b=a=1

=>vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(1;1\right)\)

Phương trình AC là:

1(x-1)+1(y-1)=0

=>x-1+y-1=0

=>x+y-2=0

mà AB: x+y+1=0

nên AB//AC

=>Loại

TH2: 7a-17b=0

=>7a=17b

=>a=17; b=7

=>\(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(17;7\right)\)

Phương trình AC là:

17(x-1)+7(y-1)=0

=>17x-17+7y-7=0

=>17x+7y-24=0