ta có : x1<x2 suy ra 3x1<3x2 suy ra f(x1)<f(x2)

Suy ra y=f(x)=3x đồng biến trên R

 \(\text{Ta có:}-m^2+m-4\\ =-\left(m^2-m+4\right)\\ =-\left[\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{15}{4}\right]\\ =-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{15}{4}\le-\dfrac{15}{4}< 0\)

Vậy HSNB trên R

\(-m^2+m-4\)

\(=-\left(m^2-m+4\right)\)

\(=-\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{4}\right)\)

\(=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{15}{4}< 0\forall m\)

Vậy: Hàm số nghịch biến trên R

Gọi x₁, x₂ là hai giá trị của x (x₁>x₂)

Ta có: x₁>x₂\(\Leftrightarrow\)-2x₁<-2x₂  \(\Leftrightarrow\)f(x₁) < f(x₂)

Vì x₁>x₂ mà f(x₁) < f(x₂) suy ra hàm số nghịch biến trên tập hợp số thực R

Vì a=-2

nên hàm số y=-2x nghịch biến trên R

Th1: m=2

\(f\left(x\right)=\left(4-2^2\right)\cdot x^2-\left(2\cdot2+1\right)x+3=-5x+3\)

=>f(x) nghịch biến trên R

=>Loại

TH2: m=-2

\(f\left(x\right)=\left\lbrack4-\left(-2\right)^2\right\rbrack\cdot x^2-\left\lbrack2\cdot\left(-2\right)+1\right\rbrack x+3=3x+3\)

=>f(x) đồng biến trên R

=>Nhận

Th3: m<>2; m<>-2

\(f^{\prime}\left(x\right)=\left(4-m^2\right)\cdot2x-\left(2m+1\right)=\left(8-2m^2\right)\cdot x-\left(2m+1\right)\)

Để f(x) đồng biến trên R thì f'(x)>0 với mọi m

=>\(\left(8-2m^2\right)\cdot x-\left(2m+1\right)>0\)

=>\(x\left(8-2m^2\right)>2m+1\)

=>\(x>\frac{2m+1}{8-2m^2}\)

=>f'(x)>0 không thể đúng với mọi m

=>Loại

Vậy: m=-2

f(x1)=3x1f(x1)=3x1

f(x2)=3x2f(x2)=3x2

Theo giả thiết, ta có:

x1<x2⇔3.x1<3.x2x1<x2⇔3.x1<3.x2 ( vì 3>03>0 nên chiều bất đẳng thức không đổi)

⇔f(x1)<f(x2)⇔f(x1)<f(x2) (vì f(x1)=3x1;f(x1)=3x1;f(x2)=3x2)f(x2)=3x2)

Vậy với x1<x2x1<x2 ta được f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2) nên hàm số y=3xy=3x đồng biến trên RR. 

Chú ý:

Ta cũng có thể làm như sau:

Vì x1<x2x1<x2 nên x1−x2<0x1−x2<0

Từ đó: f(x1)−f(x2)=3x1−3x2=3(x1−x2)<0f(x1)−f(x2)=3x1−3x2=3(x1−x2)<0 

Hay f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2) 

Vậy với x1<x2x1<x2 ta được f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2) nên hàm số y=3xy=3x đồng biến trên R

Do \(x_1< x_2\Rightarrow3x_1< 3x_2\)

\(\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

Hàm số \(f\)đồng biến trên \(ℝ\)khi :

\(\forall x_1,x_2\inℝ\): \(x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

=> Hàm số đã cho đồng biến trên \(ℝ\)

Cho x các giá trị bất kì x 1 ,   x 2 sao cho  x 1   <   x 2

= >   x 1   -   x 2   <   0

Ta có:

f x 1 = 3 x 1 ; f x 2 = 3 x 2 ⇒ f x 1 − f x 2 = 3 x 1 − 3 x 2 = 3 x 1 − x 2 < 0 ⇒ f x 1 < f x 2

Vậy với   x 1   <   x 2 ta được f ( x 1 )   <   f ( x 2 )  nên hàm số y = 3x đồng biến trên tập hợp số thực R.

Cho x các giá trị bất kì x1, x2 sao cho x1 < x2

=> x1 - x2 < 0

Ta có: f(x1) = 3x1 ; f( x2) = 3x2

=> f(x1) - f(x2) = 3x1 - 3x2 = 3(x1 - x2) < 0

=> f(x1) < f(x2)

Vậy với x1 < x2 ta được f(x1) < f(x2) nên hàm số y = 3x đồng biến trên tập hợp số thực R.

Với x 1 ,  x 2  là hai giá trị bất kì của x thuộc R, ta có:

y 1  = f( x 1 ) = 4 - 2/5  x 1 ;  y 2  = f( x 2 ) = 4 - 2/5 x 2

Nếu  x 1  <  x 2  thì  x 1  -  x 2  < 0. Khi đó ta có:

y 1  -  y 2  = (4 - 2/5  x 1  ) - (4 - 2/5  x 2  )

= (-2)/5( x 1  -  x 2 ) > 0. Suy ra  y 1  >  y 2

Vậy hàm số đã cho là hàm nghịch biến trên R.