a: y=m(2x-1)+3-2x

=>y=2mx-m+3-2x

=>y=x(2m-2)-m+3

=>x(2m-2)-y-m+3=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(2m-2\right)+0\cdot\left(-1\right)-m+3\right|}{\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m-3\right|}{\sqrt{4m^2-8m+5}}\)

d(O;(d))=1

=>\(\left|m-3\right|=\sqrt{4m^2-8m+5}\)

=>\(4m^2-8m+5=m^2-6m+9\)

=>\(3m^2-2m-4=0\)

=>\(m^2-\frac23m-\frac43=0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac13+\frac19-\frac{13}{9}=0\)

=>\(\left(m-\frac13\right)^2=\frac{13}{9}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m-\frac13=\frac{\sqrt{13}}{3}\\ m-\frac13=-\frac{\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{\sqrt{13}+1}{3}\\ m=\frac{-\sqrt{13}+1}{3}\end{array}\right.\)

b: Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(4m^2-8m+5\) nhỏ nhất

=>\(4m^2-8m+4+1\) nhỏ nhất

=>\(\left(2m-2\right)^2+1\) nhỏ nhất

mà \(\left(2m-2\right)^2+1\ge1\forall m\)

nên dấu '=' xảy ra khi 2m-2=0

=>2m=2

=>m=1

Lời giải:

Nếu $(1)$ song song với $Ox$ thì $2m-3=0$

Khi đó, ptđt $(1)$ là: $y=-1$. Khoảng cách từ $O$ đến $(1)$ là: $|-1|=1$

Nếu $(1)$ song song với $Oy$ không xét, vì hệ số của $y$ khác $0$ nên $(1)$ luôn cắt $Oy$

Nếu $(1)$ cắt được cả Ox, Oy thì trước tiên $2m-3\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{3}{2}$

Gọi $A, B$ là giao của $(1)$ với lần lượt trục $Ox, Oy$

$A\in Ox$ nên $y_A=0$. Ta có:

$0=y_A=(2m-3)x_A-1\Rightarrow x_A=\frac{1}{2m-3}$

$B\in Oy$ nên $x_B=0$. Ta có:

$y_B=(2m-3)x_B-1=-1$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, khoảng cách từ $O$ đến $(1)$ (gọi là $d$) thỏa mãn:
$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$

$=(2m-3)^2+1$

Để $d_{\max}$ thì $\frac{1}{d^2}$ min hay $(2m-3)^2+1$ min 

Điều này xảy ra khi $(2m-3)^2=0$ (vô lý vì $m\neq \frac{3}{2}$)

Vậy khoảng cách max là $1$ khi $m=\frac{3}{2}$

Bạn viết sai rồi, đường thẳng y-mx+2 =0 hay y=mx+2 vậy bạn?

hjhj , thank bạn nha , nhưng câu này mk hỏi năm 2016 , giờ mình học lớp 12 rồi !!!

- Gọi M(x₀,y₀) ,N(x₁,y₁) lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d): \(y=\left(2m-3\right)x-1\) với trục tung, trục hoành \(\Rightarrow x_0=y_1=0\).

Vì M(0;y₀) thuộc (d) nên: \(y_0=\left(2m-3\right).0-1=-1\)

\(\Rightarrow M\left(0;-1\right)\) nên \(OM=1\) (đvđd)

    \(N\left(x_1;0\right)\) thuộc (d) nên: \(\left(2m-3\right)x_1-1=0\Rightarrow x_1=\dfrac{1}{2m-3}\)

\(\Rightarrow N\left(\dfrac{1}{2m-3};0\right)\) nên \(ON=\dfrac{1}{2m-3}\) (đvđd)

*Hạ OH vuông góc với (d) tại H \(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Xét △OMN vuông tại O có OH là đường cao.

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{1}{OH^2}\)

\(\Rightarrow1+\left(2m-3\right)^2=5\)

\(\Rightarrow2m-3=\pm2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{2}\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)