Câu 1:

Để ý rằng \((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1\) nên nếu đặt

\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=a\Rightarrow \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{a}\)

PT đã cho tương đương với:

\(ma^x+\frac{1}{a^x}=4\)

\(\Leftrightarrow ma^{2x}-4a^x+1=0\) (*)

Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt trên phải có dạng pt bậc 2, tức m khác 0

\(\Delta'=4-m>0\Leftrightarrow m< 4\)

Áp dụng hệ thức Viete, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt (*)

\(\left\{\begin{matrix} a^{x_1}+a^{x_2}=\frac{4}{m}\\ a^{x_1}.a^{x_2}=\frac{1}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_2}(a^{x_1-x_2}+1)=\frac{4}{m}\\ a^{x_1+x_2}=\frac{1}{m}(1)\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1-x_2=\log_{2+\sqrt{3}}3=\log_{a^2}3\) :

\(\Rightarrow a^{x_2}(a^{\log_{a^2}3}+1)=\frac{4}{m}\)

\(\Leftrightarrow a^{x_2}(\sqrt{3}+1)=\frac{4}{m}\Rightarrow a^{x_2}=\frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}\) (2)

\(a^{x_1}=a^{\log_{a^2}3+x_2}=a^{x_2}.a^{\log_{a^2}3}=a^{x_2}.\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow a^{x_1}=\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}\) (3)

Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow \frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}.\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{m}\)

\(\Leftrightarrow \frac{16\sqrt{3}}{m^2(\sqrt{3}+1)^2}=\frac{1}{m}\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{16\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)^2}=-24+16\sqrt{3}\) (thỏa mãn)

Câu 2:

Nếu \(1> x>0\)

\(2017^{x^3}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{x^3}>1\)

\(0< x< 1\Rightarrow \frac{1}{x^5}>1\)

\(\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}> 2017^1\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017\)

\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}> 1+2017=2018\) (đpcm)

Nếu \(x>1\)

\(2017^{x^3}> 2017^{1}\Leftrightarrow 2017^{x^3}>2017 \)

\(\frac{1}{x^5}>0\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{5}}>1\)

\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}>2018\) (đpcm)

Ta có \(f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c;f"\left(x\right)=6ax+2b\)

Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) khi và chỉ khi 

\(\begin{cases}f'\left(0\right)=0\\f"\left(0\right)>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\2b>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\b>0\end{cases}\left(1\right)\)

Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực đại tại \(x=1\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}f'\left(1\right)=0\\f"\left(1\right)< 0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}3a+2b+c=0\\6a+2b< 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}f\left(0\right)=0\\f\left(1\right)=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)

Kiểm tra lại \(f\left(x\right)=-2x^3+3x^2\)

Ta có \(f'\left(x\right)=-6x^2+6x;f"\left(x\right)=-12x+6\)

\(f"\left(0\right)=6>0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\)

\(f"\left(1\right)=-6< 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x=1\)

Vậy \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)

em gửi bài

a) Điều kiện x>0. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

f(x) = = =

∫f(x)dx = ∫()dx = +C

b) Ta có f(x) = = -e^-x

; do đó nguyên hàm của f(x) là:

F(x)= == + C

c) Ta có f(x) =

hoặc f(x) =

Do đó nguyên hàm của f(x) là F(x)= -2cot2x + C

d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

f(x) =sin5xcos3x = (sin8x +sin2x).

Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = -(cos8x + cos2x) +C

e) ta có

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = tanx - x + C

g) Ta có ∫e^3-2xdx= -∫e^3-2xd(3-2x)= -e^3-2x +C

h) Ta có :

= =

Câu 1:

Lấy logarit cơ số tự nhiên 2 vế:

\(x.lny+e^y.x\ge y.lnx+y.e^x\)

\(\Leftrightarrow\frac{lny+e^y}{y}\ge\frac{lnx+e^x}{x}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{lnt+e^t}{t}\) với \(t>1\)

\(f'\left(t\right)=\frac{\left(e^t+\frac{1}{t}\right).t-lnt-e^t}{t^2}=\frac{t.e^t+1-e^t-lnt}{t^2}\)

Xét \(g\left(t\right)=t.e^t+1-e^t-lnt\Rightarrow g'\left(t\right)=e^t+t.e^t-e^t-\frac{1}{t}\)

\(g'\left(t\right)=t.e^t-\frac{1}{t}=\frac{t^2.e^t-1}{t}>0\) \(\forall t>1\)

\(\Rightarrow g\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow g\left(t\right)>g\left(1\right)=1>0\) \(\forall t>1\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{g\left(t\right)}{t^2}>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t_1\right)\ge f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1\ge t_2\)

\(\Rightarrow f\left(y\right)\ge f\left(x\right)\Leftrightarrow y\ge x\) \(\Rightarrow log_xy\ge1>0\)

\(P=log_x\left(xy\right)^{\frac{1}{2}}+log_yx=\frac{1}{2}\left(1+log_xy\right)+\frac{1}{log_xy}\)

\(P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}log_xy+\frac{1}{log_xy}\ge\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{log_xy}{2log_xy}}=\frac{1}{2}+\sqrt{2}\)

\(f'\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\Rightarrow\int f'\left(x\right)dx=\int\frac{1}{x-1}dx\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=ln\left|x-1\right|+C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}ln\left|x-1\right|+C_1\left(x>1\right)\\ln\left|x-1\right|+C_2\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\)

\(f\left(0\right)=2018\Leftrightarrow2018=ln\left|0-1\right|+C_2\Rightarrow C_2=2018\)

\(f\left(2\right)=2019\Rightarrow2019=ln\left|2-1\right|+C_1\Rightarrow C_1=2019\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}ln\left|x-1\right|+2019\left(x>1\right)\\ln\left|x-1\right|+2018\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(3\right)=2019+ln2\\f\left(-1\right)=2018+ln2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=1\)