hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)

giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau

\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)

ta đc điều phải cm

.

vì (C) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt \(y=\frac{ax^2-bx}{x-1}\) ta có \(\frac{5}{2}=\frac{a+b}{-2}\Rightarrow a+b=-5\)

vì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm O có hệ số góc =-3 suy ra y'(O)=-3

ta có \(y'=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\) ta có y'(O)=b=-3 suy ra a=-2

vậy ta tìm đc a và b

ta  tính \(y'=6x^2+a-12\)

để hàm số vừa có cực đại và cực tiểu thì \(y'=0\) hai nghiệm phân biệt suy ra \(6x^2+a-12=0\Leftrightarrow6x^2=12-a\) (*)

để (*) có 2 nghiệm phân biệt thì \(12-a>0\Leftrightarrow a<12\)

vậy với a<12 thì hàm số có cực đại và cực tiểu

gọi \(x_1;x_2\) là cực đại và cực tiểu của hàm số

suy ra \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{12-a}{6}}\) ta thay vào hàm số suy ra đc \(y_{1,2}\) suy ra \(I\left(x_1;y_1\right);A\left(x_2;y_2\right)\)

sử dụng công thức tính khoảng cách

pt đường thẳng y có dạng x=0

ta có \(d\left(I;y\right)=\frac{\left|x_1\right|}{\sqrt{1}}\); \(d\left(A;y\right)=\frac{\left|x_2\right|}{\sqrt{1}}\)

\(d\left(I,y\right)=d\left(A,y\right)\) giải pt ta tìm ra đc a

Chọn đáp án B

Phương pháp

Dựa vào đồ thị hàm số xác định các khoảng đơn điệu, các điểm cực trị và GTLN, GTNN của hàm số.

Cách giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho

+) Đồng biến trên (-1;0) và (1;+∞), nghịch biến trên (-∞;-1) và (0;1).

+) Hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Hàm số không có GTLN.

Do đó các mệnh đề (I), (III) đúng.

ta có \(y=\frac{3\left(x+1\right)}{x-2}=3+\frac{9}{x-2}\) để các điểm trên C có tọa độ nguyên thì (x,y) nguyên

suy ra (x-2) là ước của 9

mà \(Ư\left\{9\right\}=\left\{\pm9;\pm3;\pm1\right\}\)

TH1: x-2=-9 suy ra x=-7 suy ra y=3-1=2

th2: x-2=9 suy ra x=11 suy ra y=3+1=4

th3:x-2=-3 suy ra x=-2 suy ra y=3-3=0

th4: x-2=3 suy ra x=5 suy ra y=3+3=6

th5:x-2=1 suy ra x=3 suy ra y=3+9=12

th6: x-2=-1 suy ra x=1 suy ra y=3-9=-6

kết luận....

\(\left(C_1\right)\) có dạng \(y=x^3-3x\)

Gọi điểm A(a;2) là điểm kẻ đc 3 tiếp tuyến đến C do đề bài yêu cầu tìm điểm thuộc đường thẳng y=2

ta tính \(y'=3x^2-3\)

gọi \(B\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm 

phương trình tiếp tuyến tại điểm B có dạng 

\(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\)

suy ra ta có \(y=\left(3x^2_0-3\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-3x_0\)

do tiếp tuyến đi qua điểm A suy ra tọa độ của A thỏa mãn pt tiếp tuyến ta có

\(2=\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0\Leftrightarrow-\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0-2=0\Leftrightarrow-3\left(x_0-1\right)\left(1+x_0\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)^2\left(x_0-2\right)=0\)(*)

từ pt * suy ra đc 1 nghiệm \(x_0+1=0\Rightarrow x_0=-1\) hoặc\(-3\left(x_0-1\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)\left(x_0-2\right)=0\)(**)

để qua A kẻ đc 3 tiếp tuyến thì pt (*) có 3 nghiệm phân biệt

suy ra pt (**) có 2 nghiệm phân biệt khác -1  

từ đó ta suy ra đc a để pt có 2 nghiệm phân biệt khác -1

suy ra đc tập hợ điểm A để thỏa mãn đk bài ra

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x\left(x^2+3x+m\right)=0\)

\(x=0;x^2+3x+m=0\)(*)

để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Delta=3^2-4m>0\) và \(0+m.0+m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)

từ pt (*) ta suy ra đc hoành độ của D, E là nghiệm của (*)

ta tính \(y'=3x^2+6x+m\)

vì tiếp tuyến tại Dvà E vuông góc

suy ra \(y'\left(x_D\right).y'\left(x_E\right)=-1\)

giải pt đối chiếu với đk suy ra đc đk của m

Chọn C.

Phương pháp: Dựa vào bảng biến thiên để xác định tiệm cận, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cách giải: Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 và hai tiệm cận đứng x = 2, x = -2. Vậy (I) sai và (IV) đúng.

Đáp án D

Hàm số  y = f ( x )  đạt cực tiểu tại x 0 = 0  

Hàm số  y = f ( x )  có ba điểm cực trị.

Phương trình  f ( x ) = 0  có 4 nghiệm phân biệt

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -2 trên đoạn [-2;2]

Ta có :

\(K=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}=\frac{2\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}-5}+\frac{13}{\sqrt{x}-5}=2+\frac{13}{\sqrt{x}-5}\)là số nguyên dương 

<=> 13 chia hết cho \(\sqrt{x}-5\)

<=> \(\sqrt{x}-5\inƯ\left(13\right)=\left\{-13;-1;1;13\right\}\)

<=> \(\sqrt{x}\in\left\{-12;4;6;18\right\}\)

<=> \(x\in\left\{16;36;324\right\}\) (vì \(\sqrt{x}\ge0\))

Do x nguyên và x có GTLN nên x = 324