a) Để hàm xác định thì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(\Rightarrow f\left(4-2\sqrt{3}\right)=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}\)

và \(f\left(a^2\right)=\frac{\sqrt{a^2}+1}{\sqrt{a^2}-1}=\frac{\left|a\right|+1}{\left|a\right|-1}\)(với \(a\ne\pm1\))

* Nếu \(a\ge0;a\ne1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a+1}{a-1}\)

* Nếu \(a< 0;a\ne-1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a-1}{a+1}\)

c) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

Để f(x) nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)nguyên hay \(2⋮\sqrt{x}-1\Rightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}-1\ge-1\)nên ta xét ba trường hợp:

+) \(\sqrt{x}-1=-1\Rightarrow x=0\left(tmđk\right)\)

+) \(\sqrt{x}-1=1\Rightarrow x=4\left(tmđk\right)\)

+) \(\sqrt{x}-1=2\Rightarrow x=9\left(tmđk\right)\)

Vậy \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)thì f(x) có giá trị nguyên 

d) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\); \(f\left(2x\right)=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\)

f(x) = f(2x) khi \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{2x}-1\right)=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{2x}+1\right)\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2}x+\sqrt{2x}-\sqrt{x}-1=\sqrt{2}x-\sqrt{2x}+\sqrt{x}-1\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2x}-\sqrt{x}=-\sqrt{2x}+\sqrt{x}\Leftrightarrow2\sqrt{2x}=2\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{2x}=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=0\)(tmđk)

Vậy x = 0 thì f(x) = f(2x)

a: ĐKXĐ: \(\begin{cases}x\ge0\\ x<>1\end{cases}\)

b: \(x=4-2\sqrt3\)

=>\(x=\left(\sqrt3-1\right)^2\)

=>\(\sqrt{x}=\left|\sqrt3-1\right|=\sqrt3-1\)

\(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{\sqrt3-1+1}{\sqrt3-1-1}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-2}=\frac{\sqrt3\left(\sqrt3+2\right)}{-1}=-\sqrt3\left(2+\sqrt3\right)=-2\sqrt3-3\)

\(f\left(a^2\right)=\frac{\sqrt{a^2}+1}{\sqrt{a^2}-1}=\frac{\left|a\right|+1}{\left|a\right|-1}=\frac{-a+1}{-a-1}=\frac{a-1}{a+1}\)

c: f(x)=f(x^2)

=>\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{x+1}{x-1}\)

=>\(x+1=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=x+2\sqrt{x}+1\)

=>\(2\sqrt{x}=0\)

=>x=0(nhận)

c) Từ kết quả câu a, b ta được bảng sau:

Nhận xét:

- Các hàm số y = f(x) = 2/3 x và y = g(x) = 2/3 x + 3 là hai hàm số đồng biến vì khi x tăng thì y cũng nhận được các giá trị tương ứng tăng lên.

- Cùng một giá trị của biến x, giá trị của hàm số y = g(x) luôn luôn lớn hơn giá trị tương ứng của hàm số y = f(x) là 3 đơn vị.

a) Cho hàm số : \(y=f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x\)

Ta có : \(f\left(-2\right)=\dfrac{2}{3}.\left(-2\right)=-\dfrac{4}{3}\)

\(f\left(-1\right)=\dfrac{2}{3}.\left(-1\right)=-\dfrac{2}{3}\)

\(f\left(0\right)=\dfrac{2}{3}.0=0\)

\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)

\(f\left(1\right)=\dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}\)

\(f\left(2\right)=\dfrac{2}{3}.2=\dfrac{4}{3}\)

\(f\left(3\right)=\dfrac{2}{3}.3=2\)

b) Cho hàm số : \(y=g\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x+3\)

\(g\left(-2\right)=\dfrac{2}{3}.\left(-2\right)+3=\dfrac{5}{3}\)

\(g\left(-1\right)=\dfrac{2}{3}.\left(-1\right)+3=\dfrac{7}{3}\)

\(g\left(0\right)=\dfrac{2}{3}.0+3=3\)

\(g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{10}{3}\)

\(g\left(1\right)=\dfrac{2}{3}.1+3=\dfrac{11}{3}\)

\(g\left(2\right)=\dfrac{2}{3}.2+3=\dfrac{13}{3}\)

\(g\left(3\right)=\dfrac{2}{3}.3+3=5\)

c) Khi \(x\)lấy cùng một giá trị thì giá trị của \(g\left(x\right)\) lớn hơn giá trị của \(f\left(x\right)\) là \(3\) đơn vị.

Lời giải:

a)

\(f(-3)=(-3)^2=9; f(-\frac{1}{2})=(\frac{-1}{2})^2=\frac{1}{4}\)

\(f(0)=0^2=0\)

\(g(1)=3-1=2; g(2)=3-2=1; g(3)=3-3=0\)

b)

\(2f(a)=g(a)\)

\(\Leftrightarrow 2a^2=3-a\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+a-3=0\Leftrightarrow (2a+3)(a-1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=\frac{-3}{2}\\ a=1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

a)

\(f(x)=g(x)\Leftrightarrow 7x=2+5x^2\)

\(\Leftrightarrow 5x^2+2-7x=0\)

\(\Leftrightarrow (5x^2-5x)-(2x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow 5x(x-1)-2(x-1)=0\Leftrightarrow (5x-2)(x-1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{2}{5}\\ x=1\end{matrix}\right.\)

b)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} f(-x)=7(-x)=-7x\\ -f(x)=-7x\end{matrix}\right.\Rightarrow f(-x)=-f(x)\)

\(\left\{\begin{matrix} g(-x)=2+5(-x)^2=2+5x^2\\ g(x)=2+5x^2\end{matrix}\right.\Rightarrow g(-x)=g(x)\)

c)

Xét \(x_1< x_2< 0\) đều thuộc TXĐ:

Khi đó:

\(g(x_1)-g(x_2)=2+5x_1^2-(2+5x_2^2)=5x_1^2-5x_2^2=5(x_1-x_2)(x_1+x_2)\)

Vì \(x_1< x_2< 0\Rightarrow x_1-x_2< 0; x_1+x_2< 0\)

Do đó: \(g(x_1)-g(x_2)=5(x_1-x_2)(x_1+x_2)>0\Rightarrow g(x_1)> g(x_2)\)

Vậy hàm số nghịch biến khi $x< 0$

------------

Xét \(x_1> x_2>0\) thuộc TXĐ:

Khi đó:

\(g(x_1)-g(x_2)=(2+5x_1^2)-(2+5x_2^2)=5x_1^2-5x_2^2=5(x_1-x_2)(x_1+x_2)\)

Vì \(x_1> x_2>0\Rightarrow x_1-x_2>0; x_1+x_2>0\)

\(\Rightarrow g(x_1)-g(x_2)>0\Rightarrow g(x_1)> g(x_2)\)

Vậy hàm số đồng biến khi $x>0$