Cho hàm số f(x) liên tục trên \(ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)thỏa mãn \(x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) với mọi \(x\inℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)và \(f\left(1\right)=-2ln2\).Biết \(f\left(2\right)=a+bln3\)với \(a,b\inℚ\).Tính \(P=a^2+b^2\)

Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp số sau :

a) \(f\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

b) \(f\left(x\right)=e^{\sin x}\cos x\) và \(g\left(x\right)=e^{\sin x}\)

c) \(f\left(x\right)=\sin^2\dfrac{1}{x}\) và \(g\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\sin\dfrac{2}{x}\)

d) \(f\left(x\right)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\) và \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+2}\)

e) \(f\left(x\right)=x^2e^{\dfrac{1}{x}}\) và \(g\left(x\right)=\left(2x-2\right)e^{\dfrac{1}{x}}\)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=-3x^2+4x-8\) trên đoạn \(\left[0;1\right]\)

b) \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-7\) trên đoạn \(\left[-4;3\right]\)

c) \(f\left(x\right)=\sqrt{25-x^2}\) trên đoạn \(\left[-4;4\right]\)

d) \(f\left(x\right)=\left|x^2-3x+2\right|\) trên đoạn \(\left[-10;10\right]\)

e) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)

g) \(f\left(x\right)=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right]\)

Câu 1: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), biết \(f’\left(x\right)=k\left(\frac{\sqrt{m}-m}{m^2}\right)\left(x-k\right)\) ( m,k là các hằng số ). Tìm tấc cả các giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[0;2020\right]\) để đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) có duy nhất một cực đại tại \(x=k\) \(\forall k\in\left[1;10\right]\).
a) 1

b) 2019

c) 2020

d) 0

Câu 2: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên \(R\). Biết \(f‘\left(0\right)=1,f\left(1\right)=0\), GTLN hàm số \(f\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[0;1\right]\) bằng \(\frac{4}{27}\) tại điểm \(x=\frac{1}{3}\) và \(\int\limits^1_0f”\left(x\right)f’\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}\). Hỏi phương trình \(f\left(\sqrt[3]{x}\right)=\sqrt[3]{x}\) có bao nhiêu nghiệm

a) 3

b) 2

c) 1

d) 0

Câu 3: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có \(f’\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x^2-x\right)^{11}\). Hỏi hàm số \(y=f\left(\frac{2\sqrt{x-2}}{x-2}\right)\) đồng biến trên khoảng

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\left(x-9\right)^4\)

b) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2-x\right)^2}\)

c) \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

d) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\)

e) \(f\left(x\right)=\dfrac{1-\cos2x}{\cos^2x}\)

g) \(f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}\)

b) \(f\left(x\right)=\dfrac{2^x-1}{e^x}\)

c) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin^2x.\cos^2x}\)

d) \(f\left(x\right)=\sin5x.\cos3x\)

e) \(f\left(x\right)=\tan^2x\)

g) \(f\left(x\right)=e^{3-2x}\)

h) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}\)

Chứng minh rằng các hàm số \(F\left(x\right)\) và \(G\left(x\right)\) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số :

a) \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+6x+1}{2x-3}\) và \(G\left(x\right)=\dfrac{x^2+10}{2x-3}\)

b) \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin^2x}\) và \(G\left(x\right)=10+\cot^2x\)

c) \(F\left(x\right)=5+2\sin^2x\) và \(G\left(x\right)=1-\cos2x\)