Nhận xét: với mọi n nguyên thì \(n^2\equiv\left\{0;1;2;4\right\}\left(mod7\right)\)

Giả sử a;b tồn tại 1 số không chia hết cho 7

\(\Rightarrow a^2+b^2\equiv\left\{1;2;3;4;5;6;8\right\}\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\) luôn ko chia hết cho 7 (trái với giả thiết)

Vậy điều giả sử là sai hay \(a;b\) đều chia hết cho 7

Do \(2x^2-1\) luôn lẻ \(\Rightarrow y^3\) lẻ \(\Rightarrow y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k-1\) với \(k>1\)

\(2x^2-1=\left(2k-1\right)^3=8k^3-12k^2+6k-1\)

\(\Rightarrow x^2=4k^3-6k^2+3k=k\left(4k^2-6k+3\right)\)

- Nếu \(k⋮3\Rightarrow x^2⋮3\Rightarrow x⋮3\)

- Nếu \(k⋮̸3\), gọi \(d=ƯC\left(4k^2-6k+3;k\right)\) với \(d\ne3\)

\(\Rightarrow4k^2-6k+3-k\left(4k-6\right)⋮d\) 

\(\Rightarrow3⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow4k^2-6k+3\) và \(k\) nguyên tố cùng nhau

Mà \(k\left(4k^2-6k+3\right)=x^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k^2=m^2\\4k^2-6k+3=n^2\end{matrix}\right.\) 

Xét \(4k^2-6k+3=n^2\Rightarrow16k^2-24k+12=\left(2n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(4k-3\right)^2+3=\left(2n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2n-4k+3\right)\left(2n+4k-3\right)=3\)

Giải pt ước số cơ bản này ta được nghiệm nguyên dương duy nhất \(k=1\) (không thỏa mãn \(k>1\))

Vậy \(x⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n^3+2n^2+1\right)\) cũng là SCP

\(\Rightarrow4\left(n^4+5n^3+6n^2+n+3\right)\) là SCP

\(\Rightarrow4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=k^2\)

Ta có:

\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n-1\right)^2+3n^2+14n+11>\left(2n^2+5n-1\right)^2\)

\(4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2-\left(n-1\right)\left(5n+11\right)\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2n^2+5n-1\right)^2< k^2\le\left(2n^2+5n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n\right)^2\\4n^4+20n^3+24n^2+4n+12=\left(2n^2+5n+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2-4n-12=0\\\left(n-1\right)\left(5n+11\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=6\end{matrix}\right.\)

Thay lại kiểm tra thấy đều thỏa mãn

Đặt \(a=p^q+7q^p\)

Nếu p; q đều bằng 2 \(\Rightarrow a=2^2+7.2^2\) là hợp số (ktm)

Nếu p; q cùng lớn hơn 2 \(\Rightarrow p^q\) và \(q^p\) đều lẻ

\(\Rightarrow a=p^q+7q^p\) là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số (ktm)

\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q phải bằng 2, số còn lại là SNT lẻ

TH1: \(p=2\Rightarrow a=2^q+7.q^2\)

- Nếu \(q=3\Rightarrow a=2^3+7.3^2=71\) là SNT (thỏa mãn)

- Nếu \(q>3\Rightarrow q^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow7q^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(2^q=2^{2k+1}=2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow a=2^q+7.q^2\equiv2+1\left(mod3\right)\Rightarrow a⋮3\) là hợp số (ktm)

TH2: \(q=2\Rightarrow a=p^2+7.2^p\)

- Nếu \(p=3\Rightarrow a=3^2+7.2^3=65\) ko phải SNT (ktm)

- Nếu \(p>3\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(7.2^p=7.2^{2k+1}=14.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+7.2^p⋮3\) là hợp số (ktm)

Vậy \(\left(p;q\right)=\left(2;3\right)\) là cặp SNT duy nhất thỏa mãn yêu cầu