a: Kẻ tiếp tuyến IA chung của hai đường tròn (O) và (O')(I\(\in\)DE)

Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: ID=IA

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IE

Ta có: ID=IA

IA=IE

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE

Xét ΔADE có

AI là đường trung tuyến

\(AI=\dfrac{DE}{2}\)

Do đó: ΔADE vuông tại A

=>\(\widehat{DAE}=90^0\)

b: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)MB tại D

Xét (O') có

ΔAEC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAEC vuông tại E

=>AE\(\perp\)MC tại E

Xét tứ giác MDAE có

\(\widehat{MDA}=\widehat{MEA}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên MDAE là hình chữ nhật

c: MDAE là hình chữ nhật

=>MA cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của DE

nên I là trung điểm của MA

mà AI là tiếp tuyến chung của (O) và (O')

nên MA là tiếp tuyến chung của (O) và (O')

a. Vì AB là đường kính của (O), các điểm D và E nằm trên đường tròn, nên các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông:=> góc ADB =90°

Vì AC là đường kính của (O'), điểm E nằm trên đường tròn, nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông:=> góc AEC=90°

Gọi T là tiếp điểm của tiếp tuyến chung DE với hai đường tròn. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: TD=TA và TE=TA => tam giác TAD và tam giác TEA là các tam giác cân tại T => góc TDA=góc TAD và góc TEA= góc TAE.

trong tam giác DAE, tổng là 180°

=> góc DAE +( góc ADB + góc ACE)=180°

=> góc DAE=90°

b. tứ giác ADME là hcn

ta có góc DAE =90° (cmt)

BD vuông góc với AD , CE vuông góc với AE. do AD vuông góc với AE

=> BD song song với ME, CE song song với AD

c. Gọi I là trung điểm của DE. Vì ADME là hình chữ nhật, I cũng là trung điểm của AM và IA=ID=IE.

Trong (O), ID là bán kính và ID vuông góc với DE. Do IA= ID, tam giác IAD cân.

mà góc MAD= góc EDA(so le trong do AM || DE).

mà góc EDA = góc ABD (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AD trong (O)).

Do đó góc MAD = góc ABD. Đây là tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung AD.

90°

Ta gọi (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A ⇒ � thẳng hàng và � tiếp tuyến tại A. Vì AOB và AO’C là các đường kính nên: � thẳng hàng � thẳng hàng � và � (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) a) Tính số đo � DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ⇒ � và � Mà � và � cùng nằm trên đường thẳng OO’. Do hai bán kính vuông góc với tiếp tuyến nên: Suy ra � Vậy: b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? Ta có: � � (vì BD ⟂ CE do chắn nửa đường tròn) ⇒ Hai góc đối của tứ giác ADME bù nhau: ⇒ ADME là tứ giác nội tiếp Mặt khác: AD ⟂ AE MD ⟂ ME ⇒ AD ∥ ME và AE ∥ MD ⇒ ADME là hình chữ nhật c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung Vì ADME là hình chữ nhật nên: Mà: AD là bán kính của (O) ⇒ MA ⟂ OA ⇒ MA là tiếp tuyến của (O) tại A Tương tự: AE là bán kính của (O’) ⇒ MA ⟂ O’A ⇒ MA là tiếp tuyến của (O’) tại A Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A. Kết luận: a) � b) ADME là hình chữ nhật c) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A.

6

3

.

60

bbbbbbbbb

23

.....

.

1

yyyyy

Ta tóm tắt hình: hai đường tròn � và � tiếp xúc ngoài tại �. � và � là các đường kính. � là tiếp tuyến chung ngoài, tiếp xúc tại � và �. �. a) Tính � Do � là tiếp tuyến chung ngoài nên: � � Suy ra �. Mà � thẳng hàng nên hai bán kính � và � cũng thẳng hàng. Từ tính chất đối xứng qua phép vị tự tâm � biến � thành �, ta có: � biến thành � ⇒ � (về hướng) Suy ra � cân tại � và do cấu hình vuông góc từ các bán kính đến tiếp tuyến, suy ra: b) Tứ giác � là hình gì? Vì sao? Ta có: � Xét �: Do �, với � là điểm đối diện của � qua tâm nên các góc chắn nửa đường tròn cho ta: Vậy: ⇒ Tứ giác � nội tiếp đường tròn (tổng hai góc đối bằng �). c) Chứng minh � là tiếp tuyến chung Cần chứng minh � (và cũng �). Từ câu b), � nội tiếp ⇒ Mà: � (do bán kính vuông góc tiếp tuyến) ⇒ � Suy ra: ⇒ � là tiếp tuyến của � tại �. Tương tự, cũng là tiếp tuyến của �. Kết luận a) � b) � là tứ giác nội tiếp c) � là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình + giải thích trực quan để dễ hiểu hơn 👍

.

10

a. Tính số đo \(\widehat{DAE}\)Kẻ tiếp tuyến chung trong tại \(A\) của hai đường tròn, cắt \(DE\) tại \(I\).Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:\(ID = IA \implies \triangle IAD\) cân tại \(I\).\(IE = IA \implies \triangle IAE\) cân tại \(I\).Trong \(\triangle DAE\), ta có \(IA = ID = IE = \frac{1}{2} DE\). Đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.Vậy \(\widehat{DAE} = 90^\circ\).b. Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?Xét đường tròn \((O)\), góc \(\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\) nên \(\widehat{ADB} = 90^\circ\). Suy ra \(AD \perp BM\).Xét đường tròn \((O')\), góc \(\widehat{AEC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AC\) nên \(\widehat{AEC} = 90^\circ\). Suy ra \(AE \perp CM\).Xét tứ giác \(ADME\) có:\(\widehat{DAE} = 90^\circ\) (theo câu a).\(\widehat{ADM} = 90^\circ\) (kề bù với \(\widehat{ADB}\)).\(\widehat{AEM} = 90^\circ\) (kề bù với \(\widehat{AEC}\)).Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy \(ADME\) là hình chữ nhật.c. Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường trònGọi \(K\) là giao điểm của hai đường chéo \(AM\) và \(DE\) của hình chữ nhật \(ADME\). Ta có \(KA = KD = KE = KM\).Xét \(\triangle ODK\) và \(\triangle OAK\):\(OD = OA\) (bán kính \((O)\)).\(OK\) chung.\(KD = KA\) (chứng minh trên).\(\implies \triangle ODK = \triangle OAK\) (c.c.c).Suy ra \(\widehat{OAK} = \widehat{ODK}\). Mà \(OD \perp DE\) (tính chất tiếp tuyến) nên \(\widehat{ODK} = 90^\circ\).Do đó \(\widehat{OAK} = 90^\circ \implies MA \perp OA\) tại \(A\).Vì \(MA \perp OA\) tại \(A\) nên \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).Chứng minh tương tự, \(MA \perp O'A\) nên \(MA\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn \((O')\).Kết luận: \(MA\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

. Tính số đo \(\widehat{DAE}\)Xét đường tròn \((O)\): Vì \(AB\) là đường kính, \(D\) thuộc đường tròn nên \(\triangle ADB\) vuông tại \(D\). Suy ra \(\widehat{ADB} = 90^\circ\) và \(BD \perp AD\).Xét đường tròn \((O')\): Tương tự, \(AC\) là đường kính nên \(\triangle AEC\) vuông tại \(E\). Suy ra \(\widehat{AEC} = 90^\circ\) và \(CE \perp AE\).Kẻ tiếp tuyến chung tại A: Kẻ tiếp tuyến chung \(Ax\) của hai đường tròn (\(x\) nằm cùng phía với \(D, E\) so với \(BC\)).Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau: \(AD = Ax\) và \(AE = Ax\).Do đó \(Ax = AD = AE = \frac{1}{2} DE\).Kết luận: Tam giác \(DAE\) có trung tuyến ứng với cạnh \(DE\) bằng nửa cạnh đó nên \(\triangle DAE\) vuông tại \(A\).Vậy \(\widehat{DAE} = 90^\circ\).

b. Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao?Dựa vào kết quả câu a, ta có:\(\widehat{DAE} = 90^\circ\) (chứng minh trên).\(\widehat{ADM} = 90^\circ\) (do \(BD \perp AD\) tại \(D\)).\(\widehat{AEM} = 90^\circ\) (do \(CE \perp AE\) tại \(E\)).Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.Vậy \(ADME\) là hình chữ nhật.

. Chứng minh \(MA\) là tiếp tuyến chung của hai đường trònTính chất hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật \(ADME\), hai đường chéo \(AM\) và \(DE\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi \(I\) là giao điểm, ta có \(IA = ID = IE = IM\).Xét đường tròn \((O)\):Nối \(O\) với \(D\). Vì \(DE\) là tiếp tuyến chung nên \(OD \perp DE\).Xét \(\triangle ODA\) cân tại \(O\) (\(OD=OA=R\)) và \(\triangle IDA\) cân tại \(I\) (\(ID=IA\)).Qua biến đổi góc (hoặc xét tính đối xứng), ta chứng minh được \(\widehat{OAM} = \widehat{ODM}\).Mà \(\widehat{ODM} = 90^\circ\) (\(OD \perp DE\)), nên \(\widehat{OAM} = 90^\circ\).Kết luận:\(MA \perp OA\) tại \(A\) thuộc \((O)\) nên \(MA\) là tiếp tuyến của \((O)\).Tương tự, \(MA \perp O'A\) tại \(A\) thuộc \((O')\) nên \(MA\) là tiếp tuyến của \((O')\).Vậy \(MA\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại điểm \(A\).