C thuộc Ox nên C(x;0)

D thuộc Oy nên D(0;y)

A(1;4); B(-2;1); C(x;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;1-4\right)=\left(-3;-3\right);\overrightarrow{AC}=\left(x-1;0-4\right)=\left(x-1;-4\right)\)

A,B,C thẳng hàng

=>\(\frac{x-1}{-3}=\frac{-4}{-3}\)

=>x-1=-4

=>x=-3

=>C(-3;0)

A(1;4); B(-2;1); D(0;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3\right);\overrightarrow{AD}=\left(0-1;y-4\right)=\left(-1;y-4\right)\)

A,B,D thẳng hàng

=>\(\frac{-1}{-3}=\frac{y-4}{-3}\)

=>y-4=-1

=>y=3

=>D(0;3)

Làm sao để ra được I (-2t-5;t) vậy bạn

2)

Gọi (d) là đường thẳng qua M, H

Vì (d) vuông góc với (\(\Delta\)) => \(\overrightarrow{n_d}=\left(1;2\right)\)

có : (d) qua điểm M(3;-1) và 1 vtpt (1;2)

=> (d): \(\left(x-3\right)+2\left(y+1\right)=0\)

<=> (d) : \(x+2y-1=0\)

* \(H=\left(d\right)\cap\left(\Delta\right)\) nên tọa độ H là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+3=0\\x+2y-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ hình chiếu H(-1;1)

Mik đang bận nên chỉ có HD thôi ạ :

-Viết p/t đ/t d ; biểu diễn tọa độ P theo d

- Tính MN ; NP ; MP

- ADCT :  \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)  ( p = a + b + c / 2 ) 

GPT tìm tọa độ P 

\(\overrightarrow{NM}=\left(3;3\right)\Rightarrow MN=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\) và đường thẳng MN nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình MN: 

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

Do P thuộc (d) nên tọa độ có dạng: \(\left(-8+2t;t\right)\)

\(\Rightarrow d\left(P;MN\right)=\dfrac{\left|-8+2t-t\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|t-8\right|}{\sqrt{2}}\)

\(S_{MNP}=\dfrac{1}{2}.d\left(P;MN\right).MN=18\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left|t-8\right|}{\sqrt{2}}.3\sqrt{2}=18\)

\(\Rightarrow\left|t-8\right|=12\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=20\\t=-4\end{matrix}\right.\) (loại \(t=20\) do P có tung độ âm)

\(\Rightarrow P\left(-16;-4\right)\Rightarrow2a-13b=20\)

Thay tọa độ P và Q vào pt \(\Delta\) ta được 2 giá trị cùng dấu \(\Rightarrow\) P, Q nằm cùng phía so với \(\Delta\)

Gọi N là 1 điểm thuộc delta, áp dụng BĐT tam giác: \(\left|NP-NQ\right|\le PQ\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N, P, Q thẳng hàng hay N là giao điểm của PQ và delta

\(\overrightarrow{PQ}=\left(-4;-10\right)=-2\left(2;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng PQ nhận (5;-2) là 1 vtpt

Phương trình PQ: 

\(5\left(x-1\right)-2\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow5x-2y+7=0\)

Tọa độ N là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}5x-2y+7=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-9;-19\right)\)

a. Vì A là giao điểm của 2 đồ thị \(y=-x\) và \(y=-2x+2\) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt: \(\begin{cases}x+y=0\\2x+y=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}\) vậy \(A\left(2;-2\right)\)

a) y = -x và y = -2x + 2

=> -x = -2x + 2 => -x - (-2x) = 2 => x = 2

=> y = -2

Tọa độ là A(2;-2)

b) Ta có tam giác ABC vuông tại C.

BC = 2 ; AC = 4

Diện tích tam giác ABC là : \(\frac{2.4}{2}=4\)  (đơn vị diện tích)