a: Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBM vuông tại B có

OM chung

\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\)

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

=>OA=OB

=>ΔOAB cân tại O

b: ΔOAM=ΔOBM

=>MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

c: MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB tại trung điểm của AB

=>MO⊥AB tại I và I là trung điểm của AB

I là trung điểm của AB

=>IA=IB

Cho:

• \(O T\) là tia phân giác của góc \(x O y\).
• Trên tia \(O T\) lấy điểm \(M\).
• Kẻ \(M A \bot O x\), \(M B \bot O y\).

a) Chứng minh: \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\) và tam giác \(O A B\) cân.

Bước 1: Chứng minh \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\)

• \(O T\) là tia phân giác góc \(x O y\) nên:

\(\angle M O T = \angle B O T\)

• \(M\) nằm trên tia phân giác, nên khoảng cách từ \(M\) đến hai tia \(O x\) và \(O y\) là bằng nhau.
• \(M A \bot O x\), \(M B \bot O y\) nên:

\(M A = M B\)

• \(O M\) chung.
• Góc \(\angle O M A = \angle O M B = 90^{\circ}\).

Áp dụng trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c):

• \(O M = O M\) (cạnh chung)
• \(\angle O M A = \angle O M B = 90^{\circ}\)
• \(M A = M B\)

=> \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\).

Bước 2: Tam giác \(O A B\) cân

• Vì \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\), nên:

\(O A = O B\)

Do đó tam giác \(O A B\) cân tại \(O\).

b) Chứng minh: \(O M\) là đường trung trực của đoạn \(A B\)

• Ta đã biết:

\(M A = M B\)

• \(O M \bot A B\) (vì \(M A \bot O x\) và \(M B \bot O y\), tam giác vuông cân nên \(O M\) vuông góc với \(A B\)).
• \(O M\) đi qua \(M\) (điểm trên tia phân giác).

Vì \(O M\) vuông góc với \(A B\) tại \(M\), và \(M\) cách đều \(A\) và \(B\), nên \(O M\) là đường trung trực của \(A B\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(A B\) và \(O M\). Chứng minh:

• \(I A = I B\)
• \(O M \bot A B\)

• Vì \(O M\) là đường trung trực của \(A B\), nên giao điểm \(I\) của \(O M\) và \(A B\) cách đều hai đầu \(A , B\), tức:

\(I A = I B\)

• Bản chất đường trung trực thì luôn vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm, nên:

\(O M \bot A B\)

Tóm lại:

• a) \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\), tam giác \(O A B\) cân.
• b) \(O M\) là đường trung trực của \(A B\).
• c) Giao điểm \(I\) của \(A B\) và \(O M\) thỏa \(I A = I B\) và \(O M \bot A B\).

Vì Oz là phân giác xOy 

=> xOz = zOy = xOy/2

Xét △OMA vuông tại M và △ONA vuông tại N

Có: xOz = zOy

      Oz là cạnh chung

=> △OMA = △ONA ( cgv - gn)

O A D x C I z B E y

Xét tam giác AOC và tam giác BOC

có OC chung

góc BOC= góc AOC (GT)

góc CBO = góc CAO = 90⁰

suy ra tam giác AOC = tam giác BOC ( cạnh huyền- góc nhọn)

suy ra AC=BC ( hai cạnh tương ứng)

b) Xét tam giác BCE và tam giác ACD

có góc EBC = góc DAC = 90⁰

AC=BC ( CMT)

góc BCE = góc ACD ( đối đỉnh)

suy ra am giác BCE =tam giác ACD (g.c.g)

suy ra CE=CD (hai cạnh tương ứng)

suy ra tam giác ECD cân tại C

c) 

a: Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBM vuông tại B có 

OM chung

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

Suy ra: MA=MB