Đa thức \(x^2+3x-10\)có nghiệm \(\Leftrightarrow x^2+3x-10=0\)

Ta có: \(\Delta=3^2+4.10=49,\sqrt{\Delta}=7\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{-3-7}{2}=-5;x_2=\frac{-3+7}{2}=2\)

-5 và 2 là hai nghiệm của đa thức \(x^2+3x-10\)

Để  f(x)=ax³+bx²+5x-50 chia hết  cho đa thức x²+3x-10 thì -5 và 2 cũng  là hai nghiệm của đa thức f(x)=ax³+bx²+5x-50

Nếu x = -5 thì \(-125a+25b-25+50=0\Leftrightarrow5a-b=-1\)(1)

Nếu x = 2 thì \(8a+4b+10-50=0\Leftrightarrow2a+b=10\)(2)

Lấy (1) + (2), ta được: \(7a=9\Leftrightarrow a=\frac{9}{7}\)

\(\Rightarrow b=10-2.\frac{9}{7}=\frac{52}{7}\)

Vậy \(a=\frac{9}{7}\)và \(b=\frac{52}{7}\)

\(x^{8n}+x^{4n}+1=x^{8n}-x^{2n}+x^{4n}-x^n+\left(x^{2n}+x^n+1\right)=x^{2n}\left(x^{6n}-1\right)+x^n\left(x^3-1\right)+\left(x^{2n}+x^n+1\right).\text{Dễ thấy các số hạng trên đều chia hết cho }x^{2n}+x^n+1\left(\text{ không dễ lắm đâu}\right)\)

1. Thực hiện phép chia đa thức: ta có kết quả:

\(x^3+5x^2+3x+a=\left(x+3\right)\left(x^2+2x+b\right)+\left(-3-b\right)x+a-3b\)

Để f(x) chia hết cho x²+2x+b thì -3-b=0 và a-3b=0 <=> b=-3; a=-9

Đa thức \(g\left(x\right)=x^2+x-6\)có nghiệm \(\Leftrightarrow x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-3x-6=0\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-2\end{cases}}\)

Để đa thức f(x) = x³+ax²-bx+12 chia hết cho g(x) = x²+x-6 thì 3 và -2 cũng là hai nghiệm của đa thức x³+ax²-bx+12

Nếu x = 3 thì \(f\left(3\right)=27+9a-3b+12=0\)

\(\Leftrightarrow9a-3b=-39\Leftrightarrow3a-b=-13\)(1)

Nếu x = -2 thì \(f\left(-2\right)=-8+4a+2b+12=0\)

\(\Leftrightarrow4a+2b=-4\Leftrightarrow2a+b=-2\)(2)

Lấy (1) + (2), ta được: \(5a=-15\Leftrightarrow a=-3\)

\(\Rightarrow b=-2+3.2=4\)

Vậy a= -3; b = 4

x^2+1 x^3+ax^2+bx-2 x+a x^3 +x ax^2+(b-1)x-2 ax^2 +a (b-1)x -(a+2)

Để f(x) = x³+ax²+bx-2 chia hết cho g(x) =x²+1 thì \(\left(b-1\right)x-\left(a+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-1=0\\a+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=-2\end{cases}}\)

Thực hiện phép chia đa thức \(f\left(x\right)\)cho \(g\left(x\right)\)ta được: 

\(2x^3-3x^2+ax+b=\left(x^2-x+2\right)\left(2x-1\right)+\left(a-5\right)x+\left(b+2\right)\)

Để \(f\left(x\right)\)chia hết cho \(g\left(x\right)\)thì: 

\(\hept{\begin{cases}a-5=0\\b+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5\\b=-2\end{cases}}\).

tự làm đi dễ vầy

a du