Bài 1:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x+3}-2+2-\sqrt[3]{3x+5}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}-\frac{3\left(x-1\right)}{4+2\sqrt[3]{3x+5}+\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}}}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}-\frac{3}{4+2\sqrt[3]{3x+5}+\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}}\right)=0\)

\(f\left(1\right)=a+1\)

Để hàm số liên tục trên \([-3;+\infty)\Leftrightarrow\) hàm số liên tục tại \(x=1\)

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow a+1=0\Rightarrow a=-1\)

Bài 2:

Các hàm số đã cho đều liên tục trên R nên liên tục trên từng khoảng bất kì

a/ Xét \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x+2\right)+2x+3\)

\(f\left(-2\right)=-1\) ; \(f\left(1\right)=5\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\) với mọi m

b/ \(m\left(sin^3x-cosx\right)=0\)

Nếu \(m=0\) pt có vô số nghiệm (thỏa mãn)

Nếu \(m\ne0\Leftrightarrow f\left(x\right)=sin^3x-cosx=0\)

\(f\left(0\right)=-1\) ; \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\frac{\pi}{2}\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)

Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{\left(\sqrt{x+3}-2\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}\)

Để hàm số liên tục tại \(x=1\)

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+m+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2+m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Đáp án B

\(x^2+1>x^2\Rightarrow\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}\)

Và \(\sqrt{x^2}=\left|x\right|\)

\(x+\left|x\right|=\left\{{}\begin{matrix}0;\left(x\le0\right)\\2x;\left(x>0\right)\end{matrix}\right.\)

Cả 2 trường hợp đều cho kết quả ko âm, do đó ta luôn có \(x+\left|x\right|\ge0\)

a: \(y=\frac13\left(m-1\right)\cdot x^3-\left(m-1\right)\cdot x^2+\left(m-3\right)x+2\)

=>y'=\(\frac13\left(m-1\right)\cdot3x^2-\left(m-1\right)\cdot2x+\left(m-3\right)\)

\(=\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3\)

Đặt y'=0

=>\(\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3=0\) (1)

TH1: m=1

(1) sẽ trở thành:

\(\left(1-1\right)\cdot x^2-\left(2\cdot1-2\right)x+1-3=0\)

=>-2=0(vô lý)

=>Phương trình vô nghiệm

TH2: m<>1

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4\left(m^2-4m+3\right)=4m^2-8m+4-4m^2+16m-12=8m-8\)

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2;x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-3}{m-1}\)

Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì 8m-8>0

=>m>1

Để (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)

=>8m-8>0 và (m-3)/(m-1)>0

=>m>1 và (m>3 hoặc m<1)

=>m>3

b: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì (m-1)(m-3)<0

=>1<m<3

c: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=2\)

=>\(2^2-4\cdot\frac{m-3}{m-1}=2\)

=>\(4\cdot\frac{m-3}{m-1}=4-2=2\)

=>4(m-3)=2(m-1)

=>2(m-3)=m-1

=>2m-6=m-1

=>2m-m=-1+6

=>m=5(nhận)

d: Để y'>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>8m-8<=0 và m-1>0

=>8m<=8 và m>1

=>m∈∅

e: Để y'<=0 với mọi x thì Δ<=0 và a<0

=>8m-8<=0 và m-1<0

=>m<1

Lời giải:

Ta có:

\(f'(x)=3x^2+2(a-1)x+2\)

Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2, để \(f'(x)>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\) thì \(\Delta'=(a-1)^2-6<0\)

\(\Leftrightarrow -\sqrt{6}< a-1< \sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{6}< a< 1+\sqrt{6}\)

Đáp án B

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(m+\frac{1-x}{1+x}\right)=m+1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{\left(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\right)\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2x}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=-1\)

Để hàm số liên tục tại x=0

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)

\(\Leftrightarrow m+1=-1\Rightarrow m=-2\)

Bài 2:

Đặt \(f\left(x\right)=4x^4+2x^2-x-3\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(-1\right)=4>0\) ; \(f\left(0\right)=-3< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(-1;0\right)\)

\(f\left(1\right)=2>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(0;1\right)\)

Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-1;1\right)\)