Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1+2+3+...+n=((n-1)+1)*n/2=n^2/2
1+3+5+...+(2n-1)=(((2n-1)-1)/2+1)*n/2=n^2/2
2+4+6+...+2n=((2n-2)/2+1)*n/2=n^2/2
Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.
Chứng minh:
Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.
Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).
Khi đó:
\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)
Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.
Vậy \(n\) là số lẻ.
Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).
Ta có:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).
Cách phân tích phù hợp là:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:
\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.
Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.
Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh:
Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).
Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).
Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:
\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)
Hay \(d\mid 2^{2013}\).
Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).
Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.
Suy ra \(d=1\).
Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)
1. Nhận xét rằng a là số tự nhiên lẻ và ab + 4 là một số chẵn.
Nếu d là một ước chung của a và ab + 4 ( d > 1), thì do a lẻ nên d phải là số lẻ.
Do ab chia hết cho d nên 4 chia hết cho d, suy ra d \(\in\) { 2; 4 }. (mâu thuẫn)..
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của n + 2 và 3n + 11.
Suy ra \(\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\3n+11⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+6⋮d\\3n+11⋮d\end{cases}}}\).
Suy ra \(3n+11-\left(3n+6\right)=5⋮d\).
Vì vậy d = 1 hoặc d = 5.
Để n + 2 và 3n + 11 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d = 1.
Nếu giả sử ngược lại \(\hept{\begin{cases}n+2⋮5\\3n+11⋮5\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow n+2⋮5\).
Suy ra \(n\) chia 5 dư 3 hay n = 5k + 3.
Vậy để n + 2 và 3n + 11 là hai số nguyên tố cùng nhau, thì n chia cho 5 dư 0, 1, 2, 4 hay n = 5k, n = 5k +1, n = 5k + 2, n = 5k + 4.
Giả sử : \(2n+3⋮d\)
\(n+2⋮d\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(n+2\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow\left(2n+3\right)-2\left(n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow-1⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(-1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
\(\Rightarrow\frac{2n+3}{n+2}\) là phân số tối giản
Cho d là ước chung lớn nhất của 2n+ 3 và n + 2
=> ( 2n+3 ) - 2( n + 2 ) chia hết cho d
-1 chia hết cho d
Vậy 2n+3 / n + n tối giản .
Để thương là số tự nhiên
=> Các trường hợp (a) ; (b) ; (c) phải chia hết
a) n + 6 chia hết cho n - 4
n - 4 + 10 chia hết cho n - 4
=> 10 chia hết cho n - 4
=> n - 4 thuộc Ư(10) = {1 ; 2 ; 5 ; 10}
Xét 4 trường hợp ,ta có :
n - 4 = 1 => n = 5
n - 4 = 2 => n = 6
n - 4 = 5 => n = 9
n - 4 = 10 => n = 14
b) 2n + 12 chia hết cho n + 2
2n + 4 + 8 chia hết cho n + 2
2.(n + 2) + 8 chia hêt cho n + 2
=> 8 chia hết cho n + 2
=> n + 2 thuộc Ư(8) = {1 ; 2 ; 4; 8}
Còn lại giống câu a
c) không biết
A lớn hơn B là 2n + 20
Nếu n = 3 thì 4n + 27 = 39
2n + 7 = 13
39 chia hết cho 13 .
Vậy n = 3
cái này khó tui chết liền:
a, A=\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
b,B=\(n^2\)
c, C=\(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)