O M I D C A B

(Trình vẽ hình còn non!)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}MA=MB\\OA=OB=R\end{cases}}\)(MA=MB vì tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M)

\(\Rightarrow OM\)là trung trực của \(AB\)

\(\Rightarrow IA=IB\)và \(OM⊥AB\)tại \(I\)

Xét \(\Delta BCM\)và \(\Delta BDM\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{DMB}:chung\\\widehat{BDM}=\widehat{CBM}\end{cases}}\)(Góc BDM = góc CBM vì cùng chắn cung BC)

\(\Rightarrow\Delta BCM~\Delta DCM\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MB}\)

\(\Rightarrow MB.MB=MC.MD\)

\(\Rightarrow MB^2=MC.MD\)

Xét \(\Delta OMB\)vuông tại \(B\), đường cao \(BI\)có:

\(MB^2=MI.MO\)

Mà: \(MB^2=MD.MC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MD.MC=MI.MO\left(đpcm\right)\)

a.Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)

→ˆMAO=ˆMBO=90o→MAO^=MBO^=90o

→M,A,O,B→M,A,O,B thuộc đường tròn đường kình OM

b.Vì MA,MBMA,MB là tiếp tuyến của (O)→MO⊥AB=I→MO⊥AB=I

→OA2=OI.OM→OA2=OI.OM

C 

Vì OF⊥CM=EOF⊥CM=E

→ˆFAC=ˆFEC=90o→◊AFCE,◊MAEO→FAC^=FEC^=90o→◊AFCE,◊MAEO nội tiếp

→M,A,E,O,B→M,A,E,O,B cùng thuộc một đường tròn

→ˆFCA=ˆFEA=ˆFBO→FCA^=FEA^=FBO^

→FC→FC là tiếp tuyến của (O)

a: OH*OM=OA^2=R^2

b: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI vuông góc với CD

Xét tứ giác OIAM có

góc OIM=góc OAM=90 độ

nên OIAM là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có

góc HOK chung

Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM

=>OH/OI=OK/OM

=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2

mà CI vuông góc với OK

nên ΔOCK vuông tại C

=>KC là tiếp tuyến của (O)

O N H E M D P

a) MN là tiếp tuyến đường tròn (O) \(\Rightarrow\widehat{MNP}=90^o\)

DO = ON = OP => \(DO=\frac{1}{2}NP\Rightarrow\widehat{NDP}=90^o\)

- Aps dụng hệ thức lượng cho tam giác MNP vuông tại N đường cao ND , ta có :

MN² = MD . MP ( đpcm )

b) Ta có : PE // OM => PE // OH

Mà O là trung điểm của NP => OH là đường trung bình của tam giác ENP

=> H là trung điểm NE

Vậy : HN = HE ( đpcm )

c) Theo ( c/m câu b ) : HN = HE => \(HE\perp OM\)

Áp dung hệ thức trong tam giác NMO vuông tại N , đường cao NH :

Ta có : ON² = OM . OH => OP² = OM . OH

\(\Rightarrow\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(1\right)\)

- Xét 2 tam giác: OHP và OPM

có : \(\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(theo\left(1\right)\right)\)

       \(\widehat{O}\)là góc chung

Do đó : \(\Delta OHP~\Delta OPM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OPH}=\widehat{OMP}\left(đpcm\right)\)

a: Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>CB⊥CD
mà OM⊥BC

nên OM//CD

c: ΔOBM vuông tại B

=>\(BO^2+BM^2=OM^2\)

=>\(BM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

Xét ΔMBO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MB^2=3\cdot R^2\)

Xét ΔBMO vuông tại B có sin BMO=BO/OM=1/2

nên \(\hat{BMO}=30^0\)

Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc BMC

=>\(\hat{BMC}=2\cdot\hat{BMO}=60^0\)

d: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE⊥MD tại E

Xét ΔMBD vuông tại B có BE là đường cao

nên \(ME\cdot MD=MB^2\)

=>\(ME\cdot MD=MH\cdot MO\)

a: OH*OM=OA^2=R^2

b: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI vuông góc với CD

Xét tứ giác OIAM có

góc OIM=góc OAM=90 độ

nên OIAM là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có

góc HOK chung

Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM

=>OH/OI=OK/OM

=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2

mà CI vuông góc với OK

nên ΔOCK vuông tại C

=>KC là tiếp tuyến của (O)