Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C O D E S F N M I
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
Bài 2
a) Ta có \(\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^o\). Tứ giác ABHE nội tiếp
=> \(\widehat{EHC}=\widehat{ABA'}=\widehat{BCA'}\)
=> HE//CA'
Vì CA' _|_ AC => HE _|_ AC
c) Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC
Đường tròn ngoại tiếp ABHE có tâm là M nên M nằm trên đường trung trực của HE
Do HE _|_ AC nên trung trực của HE song song với AC và chứa đường trung bình của tam giác ABC
Do đó trung điểm N của BC nằm trên trung trự của HE
Mặt khác E,F là chân đường vuông góc của B và C hạ xuông AA' nên trung trực của EF đi qua trung điểm N của BC
Vậy N là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là 1 điểm cố định cho BC cố định
Bài 1
bổ sung câu c bài hỏi .là : CM \(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\)
bài làm
a) ta có . tam giác ACO zuông tại C , Tam giác ABO zuông tại B
nên C , B lần lượt nhìn AO zới 1 góc =90 độ
=> ABCO nội tiếp
b) ta có tam giác ABC cân tại A do AB=AC
mà AH là đường cao
nên AH cx là đường trung tuyến
=> CH = HB
=> AO là đường trung trực của CB
c) ta có BD là đường kính của O
nên góc BED = 90 độ
xét 2 tam giác zuông BED zà ABD có
góc BAD = góc BDA ( cùng nhìn \(\widebat{BE}\)
BD chung
=> tam giác BED = tam giác DBA
=> \(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\)
B O A C D K H E
a, Xét tứ giác AKCH có: \(\widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90+90=180\)=> tứ gác AKCH nội tiếp
b,Tứ giác AKCH nội tiếp => \(\widehat{HCK}=\widehat{HAD}\)(góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)
Mặt khác: \(\widehat{HAD}=\widehat{BCD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)
=> \(\widehat{BCD}=\widehat{ACD}\)=> CD là phân giác \(\widehat{KCB}\)
c, Tứ giác AKCH nội tiếp: => \(\widehat{CKE}=\widehat{CAH}\)
Mà: \(\widehat{CDB}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\)
=> \(\widehat{CKE}=\widehat{CDE}\)=> tứ giác CKDE nội tiếp
=> \(\widehat{CKD}+\widehat{CED}=180\Rightarrow\widehat{CED}=180-\widehat{CKD}=180-90=90\)
=> \(CE⊥BD\)(ĐPCM)
d, em xem lại xem có gõ sai đề không nhé
Câu d) Khi C di chuyển trên cung nhỏ̉ AB. Xác định vị trí C để CK.AD+CE.DB có giá trị lớn nhất.
Nhờ mọi người giải dùm e với.
A B C H A' O E F S G K
a) Xét tứ giác: ABHE: ^BEA=^AHB (=900) => Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do ^EHC là góc ngoài tại đỉnh H của tứ giác ABHE nên ^EHC=^BAE hay ^EHC=^BAA'
Dễ thấy: ^BAA'=^BCA' => ^EHC=^BCA'.
Mà 2 góc trên nằm ở vị trí so le trg nên HE // CA' (1)
Xét đường tròn (O) đường kính AA' có điểm C nằm trên cung AA'
=> CA' vuông góc với AC (2)
Từ (1) và (2) => HE vuông góc AC (Quan hệ song song, vg góc) (đpcm).
b) Ta có: Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn và có ^HEF là góc ngoài tại đỉnh E
=> ^HEF=^ABH hay ^HEF=^ABC.
Lập luận tương tự câu a, ta cũng có tứ giác AHFC nội tiếp đường tròn đường kính AC.
=> ^HFA=^HCA hay ^HFE=^BCA.
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)HEF: ^HEF=^ABC; ^HFE=^BCA => \(\Delta\)HEF ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).
c) Ta gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)HEF.
Lấy giao điểm giữa (S) với 2 đoạn BE và BC lần lượt là K và G.
Do tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn nên ^HBE=^HAE hay ^HBK=^HAF
Ta thấy tứ giác HKEF nội tiếp (S)
=> ^HFE=^BKH (Do ^BKH là góc ngoài đỉnh K) => ^BKH=^AFH.
Xét \(\Delta\)BHK và \(\Delta\)AHF: ^HBK=^HAF; ^BKH=^AFH => \(\Delta\)BHK ~ \(\Delta\)AHF (g.g)
=> \(\frac{BH}{AH}=\frac{HK}{HF}\)(*)
Ngoài ra: ^BHK=^AHF => 900 + ^AHK = ^AHK + ^KHF => ^KHF=900
Lại có: ^BKH=^AFH. Mà ^AFH = ^ACH (Do tứ giác AHFC nội tiếp đg tròn)
=> ^BKH=^ACH (3)
Xét \(\Delta\)AHC vuông tại H: HE vuông góc AC => ^ACH=^AHE (Phụ ^HAC) (4)
Từ (3) và (4) => ^BKH=^AHE. Mà tứ giác ABHE nội tiếp đg tròn => ^AHE=^ABE
=> ^BKH=^ABE. Hai góc này so le trg nên HK // AB => ^AHK=^BAH.
Mà ^AHK=^GHF (Cùng phụ ^KHG) và ^GHF=^GEF (Chắn cung GF)
=> ^BAH=^GEF. Mặt khác ^BAH=^BEH (Cùng chắn cung BH) => ^GEF=^BEH.
Lại thấy: ^BEH+^HEF=900 = >^GEF+^HEF=900 => ^HEG=900
Xét tứ giác HEGF nội tiếp (S) có ^HEG=900 => ^HFG=900
Xét tứ giác KHFG nội tiếp (S) có ^HFG=900 => ^HKG=900. Mà ^KHF=900 (cmt)
=> ^HFG=^HKG=^KHF=900 => Tứ giác HKFG là hình chữ nhật. => HK=GF (**)
Xét \(\Delta\)CGF và \(\Delta\)AHF: ^GCF=^HAF (Cung chắn cung HF); ^HFA=^GFC (Cùng phụ ^AFG)
=> \(\Delta\)CGF ~ \(\Delta\)AHF => \(\frac{CG}{AH}=\frac{GF}{HF}\)(***)
Từ (*); (**) và (***) => \(\frac{BH}{AH}=\frac{CG}{AH}\Rightarrow BH=CG\).
Ta thấy: Đường tròn (S): ^HKG =900 và 3 điểm H;K;G nằm trên (S)
HG là đường kính của (S) => H;S;G là 3 điểm thẳng hàng.
Vì H và G đều nằm trên BC => B;H;S và H;G;C thẳng hàng
Có: BH=CG (cmt); SH=SG (Bán kính của (S)) => BH+HS=CG+SG
=> BS=CS. Mạt khác 3 điểm B;C;S thẳng hàng => S là trung điểm BC.
Mà BC là dây cung cố định của (O) nên S cố định.
Hay tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)HEF là 1 điểm cố định (đpcm).